Là MALL + loại đệ quy không giới hạn Turing-đầy đủ?

Nếu bạn nhìn vào các tổ hợp đệ quy trong phép tính lambda chưa được xử lý, chẳng hạn như tổ hợp Y hoặc tổ hợp omega: Rõ ràng là tất cả các tổ hợp này kết thúc sao chép một biến ở đâu đó trong định nghĩa của chúng.

\begin{array}{lcl} ω & = = & (λ x . x x) (λ x . x x) \\ Y & = = & λ f . (λ x . f (x x)) (λ x . f (x x)) \end{array}

$\begin{array}{lcl} \omega & = & (\lambda x.\,x\;x)\;(\lambda x.\,x\;x)\\ Y & = & \lambda f.\,(\lambda x.\,f\;(x\;x))\; (\lambda x.\,f\;(x\;x)) \\ \end{array}$

Hơn nữa, tất cả các tổ hợp này đều có thể đánh máy được trong phép tính lambda được gõ đơn giản, nếu bạn mở rộng nó với các kiểu đệ quy , trong đó được phép xảy ra tiêu cực trong loại đệ quy. $\mu\alpha.\,A(\alpha)$ $\alpha$

Tuy nhiên, điều gì xảy ra nếu bạn thêm các kiểu đệ quy đầy đủ (xảy ra tiêu cực) vào đoạn logic không có hàm mũ của logic tuyến tính (nghĩa là MALL)?

$!A$

! Một ≜ μ α . Tôi & Một & (α \otimes α)

$!A \triangleq \mu\alpha.\;I \;\&\; A \;\&\; (\alpha \otimes \alpha)$

Có phải đó là trường hợp MALL cộng với các loại đệ quy không hạn chế vẫn đang bình thường hóa

lo.logic pl.programming-languages linear-logic

— Neel Krishnaswami
nguồn

Tôi đã suy nghĩ về điều này chỉ một ngày khác, và đã dành vài giờ để chơi đùa với một số ý tưởng nhưng không thể tìm ra cách để thể hiện một giá trị đệ quy cũng như không thể thuyết phục bản thân mình rằng điều đó là không thể. Trực giác của tôi là không phải vậy! Tôi đã không xem xét hướng khác mặc dù - nếu bạn giả sử quy tắc giới thiệu cho! và các kiểu đệ quy, điều đó có cho phép bạn xác định một tổ hợp điểm cố định không?

— CA McCann

Tôi luôn nghĩ rằng một -term trong đó mọi biến số xảy ra nhiều nhất một lần có thể đánh máy được trong đoạn được gõ đơn giản. Vì vậy, điều đó sẽ cho thấy bạn không thể định nghĩa một tổ hợp điểm cố định trong đó các biến được sử dụng tuyến tính.

λ

$\lambda$

— Andrej Bauer

Tôi nghĩ rằng bạn vừa trả lời câu hỏi cho MLL, nhưng các chất phụ gia không cho phép các biến được nhân đôi (tuyến tính sau đó ngụ ý các lần xuất hiện đơn lẻ trong các chuỗi giảm, đại khái).

A & B

$A & B$

— Neel Krishnaswami

Nếu giao hoán phụ gia bị bỏ qua trong MALL, thật dễ dàng để chỉ ra rằng kích thước của một bằng chứng giảm theo mỗi bước loại bỏ. Nếu các phép cộng gộp được cho phép, việc chứng minh không dễ dàng như vậy, nhưng nó đã được cung cấp trong bài báo gốc Logic tuyến tính. Nó được gọi là Định lý bình thường hóa nhỏ (Hệ quả 4.22, tr71), nói rằng miễn là quy tắc quảng bá co thắt không liên quan (đó là trường hợp trong MALL) bình thường hóa. Đối số không dựa vào chính các công thức, chúng có thể là vô hạn (ví dụ: được định nghĩa đệ quy).

Điều đó có nghĩa là không thể mã hóa quảng cáo cho loại trong MALL, vì nó sẽ cho phép sửa các tổ hợp điểm. Một số cấu trúc đệ quy bổ sung sẽ là cần thiết cho điều đó. $\mu\alpha.\;I \;\&\; A \;\&\; (\alpha \otimes \alpha)$

Lưu ý: Tôi tin rằng nó có thể sử dụng MALL cùng với một nguyên tắc coinduction (giới thiệu của là kép) để giữ cho bình thường hóa hệ thống và có được một chương trình khuyến mãi để mã hóa này . Cho phép các kiểu đệ quy trong MALL + coindulation sau đó sẽ làm cho nó hoàn thành. Nhưng miễn là MALL được xem xét một mình, cho phép các loại đệ quy không phải là vấn đề lớn. $\mu$ $!A$

— Stéphane Gimenez
nguồn

Cũng lưu ý rằng loại đề xuất được đề cập ngắn gọn trên trang 101 (trang cuối) của bài báo.

— Stéphane Gimenez