Cây bao trùm tối thiểu trên tất cả các khớp đỉnh

Tôi gặp vấn đề phù hợp này mà tôi không thể viết ra thuật toán thời gian đa thức.

Đặt là các đồ thị có trọng số hoàn chỉnh với các đỉnh đặt và , tương ứng, trong đó | P V | = | Q V | = n . Ngoài ra, chúng ta hãy w P và w Q là chức năng cân trên các cạnh của P và Q , tương ứng.P V Q $P, Q$$P_V$$Q_V$$|P_V| = |Q_V|=n$$w_P$$w_Q$$P$$Q$

Đối với một song ánh $f: P_V \to Q_V$ chúng ta sửa đổi $Q$ trong thời trang sau đây: Nếu $f(p) = q$ và $f(p^\prime) = q^\prime$ với $w_P(p, p^\prime) > w_Q(q, q^\prime)$ sau đó thiết lập $w_Q(q, q^\prime) = w_P(p, p^\prime)$ . Biểu thị đồ thị đã sửa đổi này bằng$Q_f$ và gọi$W(Q_f)$ là tổng trọng số của cây bao trùm tối thiểu của$Q_f$ .

Vấn đề: Giảm thiểu $W(Q_f)$ trên khắp bijections $f: P_V \to Q_V$ .

Vấn đề này khó đến mức nào? Nếu "cứng": còn thuật toán xấp xỉ thì sao?

(Chuyển từ nhận xét) Đây là một ý tưởng để có được xấp xỉ hệ số gần đúng, giả sử P và Q thỏa mãn bất đẳng thức tam giác. Tôi nghĩ rằng nó có thể đưa ra một xấp xỉ 2, nhưng tất cả những gì tôi có thể chứng minh ngay bây giờ là tỷ lệ gần đúng là 4.

(1) Trong vấn đề như đã nêu, trọng lượng của cạnh trong đồ thị kết hợp (sau khi sự tương ứng p - p ' và q - q ' được xác định) là max { P ( p q ) , Q ( p ' q ' ) } . Thay vào đó, hãy sử dụng P ( p q ) + Q ( p ' q '$pq$$p$$p'$$q$$q'$$\max\{P(pq),Q(p'q')\}$$P(pq)+Q(p'q')$. Điều này làm mất tối đa hai nhân tố nhưng làm cho vấn đề dễ mô tả hơn: chúng ta hiện đang cố gắng tìm một cây bao trùm trong và một cây bao trùm đẳng hình ở Q , với tổng trọng lượng tối thiểu. Sự tương ứng giữa P và Q sau đó được đưa ra bởi sự đẳng cấu giữa hai cây này.$P$$Q$$P$$Q$

(2) Trong , tìm một cây bao trùm tối thiểu và sử dụng kỹ thuật tham quan Euler nhân đôi đường dẫn để tìm một đường có trọng lượng nhiều nhất gấp đôi. Làm điều tương tự một cách độc lập trong Q . Kết quả là có hai cây đẳng hình (cả hai đường) riêng biệt nhiều nhất gấp đôi trọng lượng MST của đồ thị của chúng, và do đó, chi phí cao gấp đôi giải pháp cho vấn đề cây bao trùm đẳng cấu tối thiểu và gấp bốn lần trọng lượng của vấn đề ban đầu .$P$$Q$

(3) Vấn đề ban đầu là NP-đầy đủ, bằng cách giảm từ đường dẫn Hamilton. Đặt được xác định từ một biểu đồ mà bạn muốn kiểm tra sự tồn tại của đường dẫn Hamilton; xác định P ( p q ) = 1 khi p q là cạnh trong P và 2 khi p q không phải là cạnh. Đặt Q được định nghĩa chính xác theo cùng một cách từ biểu đồ đường dẫn. Sau đó, có một giải pháp tổng chi phí n - 1 khi và chỉ khi đồ thị từ đó $P$$P(pq)=1$$pq$$P$$2$$pq$$Q$$n-1$$P$đã được xác định có một con đường Hamilton. Có lẽ điều này cũng có thể được sử dụng để chứng minh tính không tương thích dưới một số hằng số cố định.