Câu trả lời ngắn gọn : kiến thức toán học thực sự tối thiểu để hiểu được nửa đầu kế hoạch của GCT, một khi bạn đã thấy một chút các nhóm, nhẫn và trường, về cơ bản được trình bày trong Chương 3 của luận án của tôi (tự cắm không biết xấu hổ ). Tuy nhiên, chương đó không đầy đủ, ở chỗ tôi không đi đến phần lý thuyết đại diện của sự vật. Lý thuyết đại diện là rất quan trọng cho nửa sau của kế hoạch (đó là lý do tại sao tôi làm việc mở rộng chương đó để đưa nó vào).
Nếu bạn thực sự muốn tham gia vào GCT, Đối xứng, Đại diện và Bất biến của Goodman và Wallach và Hành động và Bất biến của các nhóm Đại số của W. Ferrers Santos đều tương đối khép kín và có nhiều thông tin tốt phù hợp với GCT. Tôi không chắc liệu chúng có phải là nguồn tốt nhất để học hay không, vì tôi chỉ tìm hiểu về chúng sau khi tôi đã học được nhiều tài liệu này, nhưng chúng rất tốt về tỷ lệ của những gì chúng liên quan đến những gì liên quan đến GCT. Fulton và Harris là tuyệt vời cho lý thuyết đại diện và rất nhiều ví dụ / bài tập trong cuốn sách có liên quan đến GCT.
Câu trả lời dài hơn : nó thực sự phụ thuộc vào những gì / bạn muốn tìm hiểu về GCT, như Vijay đã chỉ ra. Các chủ đề dưới đây chỉ là những gì tôi nghĩ là nền tảng cần thiết, vì đó là câu hỏi. Tôi không chắc đây là một danh sách đầy đủ - tôi khuyên bạn nên cố gắng đọc một số bài viết về GCT và khi bạn bị lạc hãy tìm tài liệu nền. Khi bạn đang tìm hiểu các tài liệu cơ bản, mọi người thường quay lại các bài báo GCT và xem liệu bạn có thể theo dõi thêm không.
(Tùy thuộc vào những gì bạn muốn học, tôi thực sự không đồng ý với Zeyu rằng bạn nên thử một số đại số giao hoán tốt nghiệp trước, mặc dù tại một số điểm trong việc học GCT, điều này sẽ trở nên cần thiết.)
Nếu bạn muốn hiểu, ví dụ, bài báo FOCS gần đây của Mulmuley , bạn sẽ muốn hiểu:
- nguyên tắc độ cứng so với tính ngẫu nhiên (xem Impagliazzo - Kabanets , và có lẽ cả danh sách các bài báo của Bill Gasarch về độ cứng v ngẫu nhiên )
- hình học đại số cơ bản lên đến Nullstellensatz của Hilbert và Bổ đề chuẩn hóa của Noether. Chúng có thể được tìm thấy trong bất kỳ sách giáo khoa cơ bản về hình học đại số và có lẽ trong hầu hết các ghi chú bài giảng về nó.
- một số lý thuyết bất biến cổ điển (bạn không thực sự cần lý thuyết bất biến địa lý, sơ đồ và cuốn sách Mumford-Fogarty-Kirwan cho bài viết này). Thuật toán cuốn sách của Sturmfels trong Lý thuyết bất biến xuất hiện trong tâm trí.
- Đối với một số kết quả nhất định trong bài báo, nhưng không có nghĩa là đối với bài báo nói chung, bạn có thể muốn một số (và các tài liệu tham khảo này cũng có thể được tìm thấy trong bài báo): lý thuyết biểu diễn của như trong Fulton và Harris , kết quả về bất biến ma trận [ Artin, Procesi, Razymslov], ...SLn
Nếu bạn muốn hiểu phác thảo chung của phương pháp GCT nhưng trong một số chi tiết toán học , tôi đề nghị:
Vấn đề thường trực so với quyết định. # P-đầy đủ của vĩnh viễn và GapL-đầy đủ của yếu tố quyết định. Agrawal có một khảo sát tốt (chỉ hơi lỗi thời) về điều này, và bằng chứng về sự hoàn thiện có thể được tìm thấy trong cuốn sách của Burgisser về tính đầy đủ và giảm trong lý thuyết phức tạp đại số .
Nhóm và hành động nhóm (nhóm đại số và hành động nhóm đại số là hữu ích, nhưng không cần thiết ở cấp độ này). Bạn nên hiểu Định lý Orbit-Stabilizer.
Liên kết hình học đại số thông qua Nullstellensatz của Hilbert. Về cơ bản, bạn chỉ cần hiểu sự tương ứng giữa các giống đại số affine và các vòng tọa độ của chúng.
Lý thuyết đại diện cơ bản của như trong Fulton và Harris . Ngoài các định nghĩa cơ bản, bạn cần biết mức độ giảm hoàn toàn của các biểu diễn này và thực tế là các biểu diễn của được phân loại theo các phân vùng, nhưng bạn không nhất thiết phải biết bằng chứng / cấu trúc của phần sau.GLnGLn
Nếu bạn muốn hiểu sâu sắc những gì đang diễn ra (và tôi không chắc mình có thể tuyên bố sẽ ở đó chưa, nhưng tôi nghĩ tôi biết những gì tôi cần biết để đến đó), có lẽ bạn cũng nên hiểu:
Cấu trúc của các nhóm đại số rút gọn và quỹ đạo đóng trong các biểu diễn của chúng. Tôi thích cuốn sách của W. Ferrers Santos vì điều này, mà cả Nhóm Đại số tuyến tính của Borel , Nhóm cổ điển của Weyl , và các tác phẩm kinh điển khác.
Bộ máy Luna-Vust (Định lý Slice của Luna, độ phức tạp của Luna-Vust)
Tannakian Duality (xem bài viết của Deligne - Milne ; đây sẽ là bài đọc khó mà không có một số nền tảng về lý thuyết thể loại và các nhóm đại số affine). Điều này về cơ bản nói rằng "các nhóm đại số affine được xác định bởi các đại diện của chúng." Tôi không nghĩ rằng bạn cần toàn bộ bài viết, nhiều như cách phục hồi một nhóm từ danh mục đại diện của nó (Cor. 3,4).
Lý thuyết đại diện nhiều hơn , đặc biệt là khi áp dụng cho các vòng tọa độ của các nhóm đại số và đóng quỹ đạo của chúng. Tôi thực sự thích cuốn sách của Goodman và Wallach vì điều này, đặc biệt bởi vì về cơ bản nó là độc lập, và nó có rất nhiều chính xác những gì bạn cần để hiểu GCT. (Ngoài ra, nhiều phần mở rộng / phần bên và bài tập trong Fulton và Harris đều đúng với GCT, đặc biệt là các phần về hệ số Littlewood-Richardson và Kronecker.)
Nếu bạn muốn thực sự làm việc trên lý thuyết biểu diễn , có lẽ bạn muốn hiểu thêm về lý thuyết tổ hợp đại số / lý thuyết biểu diễn tổ hợp. Tôi thực sự không biết tất cả các tài liệu tham khảo phù hợp cho vấn đề này, nhưng chắc chắn hiểu được quy tắc Littlewood-Richardson là điều bắt buộc, và cuốn sách Young Tableaux của Fulton rất tốt cho việc này.
Các bài báo gần đây nhất về mặt này của những điều mà tôi biết là Blasiak , Kumar , và Bowman, De Visscher, và Orellana .
Tùy thuộc vào hướng bạn muốn đi, bạn cũng có thể muốn xem xét các nhóm lượng tử, mặc dù điều này không nhất thiết cần thiết (lưu ý: đây không phải là trường hợp đặc biệt của các nhóm, mà là khái quát theo một hướng nhất định).
Về mặt hình học hơn của mọi thứ , bạn sẽ muốn xem xét những thứ như hình học vi phân cho các không gian tiếp tuyến và thẩm thấu, độ cong, giống kép và tương tự, nằm dưới giới hạn thấp nhất được biết đến trên perm so với det do Mignon --Ressayre và tiếp theo là Landsberg - Man Xoay - Ressayre . ( Mignon - Ressayre có thể được hiểu mà không cần bất kỳ điều nào trong số những điều này, nhưng bạn có thể xem bài báo của họ một cách lỏng lẻo khi nghiên cứu độ cong của một số giống nhất định, để có cái nhìn ít lỏng lẻo hơn, hãy xem việc sử dụng các giống kép trong Landsberg - Man Xoay - Ressayre . ) (Xem thêm Cai, Chen và Li , mở rộng Mignon - Ressayre cho tất cả các đặc điểm kỳ lạ.) Xem thêm Landsberg và Kadish .
Nếu bạn quan tâm đến cách tiếp cận GCT đối với phép nhân ma trận , thì đó là tất cả về thứ hạng tenor, thứ hạng đường viền và các giống bí mật. Tôi khuyên bạn nên xem các bài báo của Burgisser - Ikenmeyer , Landsberg và Ottaviani , Landsberg , khảo sát và cuốn sách của Landsberg . Tất nhiên, cũng sẽ rất tốt nếu biết các công cụ cổ điển về nhân ma trận (cả giới hạn trên và dưới), nhưng đó là một loại giun hoàn toàn riêng biệt.