Bộ kết hợp cho các hàm đệ quy nguyên thủy

Điều nổi tiếng là các tổ hợp S và K là Turing Complete. Có tổ hợp nào đủ để mang lại (chỉ) các hàm đệ quy nguyên thủy không?

Có, nhưng bạn phải xem xét các tổ hợp đánh máy. Nghĩa là, bạn cần cung cấp cho và K các lược đồ loại sau: K : A → B → A S : ( A → B → C ) → ( A → B ) → ( A → C ) trong đó A , B và C là các biến meta có thể được khởi tạo cho bất kỳ loại cụ thể nào tại mỗi lần sử dụng.$S$$K$

$$\begin{array}{lcl} K & : & A \to B \to A \\ S & : & (A \to B \to C) \to (A \to B) \to (A \to C) \end{array}$$ $A, B$$C$

Sau đó, bạn muốn thêm loại của số tự nhiên vào ngôn ngữ của loại và thêm các tổ hợp sau: z : N s u c c : N → N i t e r : N → ( N → N ) → N → $\mathbb{N}$

$$\begin{array}{lcl} z & : & \mathbb{N} \\ succ & : & \mathbb{N} \to \mathbb{N} \\ iter & : & \mathbb{N} \to (\mathbb{N} \to \mathbb{N}) \to \mathbb{N} \to \mathbb{N} \end{array}$$

Các quy tắc bình đẳng cho các bổ sung là:

$$\begin{array}{lcl} iter\;i\;f\;z & = & i \\ iter\;i\;f\;(succ\;e) & = & f(iter\;i\;f\;e) \end{array}$$

$$\begin{array}{lcl} iter & : & A \to (A \to A) \to \mathbb{N} \to A \end{array}$$ $iter$

$\mathit{iter}$

$$\begin{array}{lcl} pred' & = & \lambda k.\;iter \;(z, z) \; (\lambda (n, n').\; (succ\;n, n))\;k\\ pred & = & \lambda k.\;snd(pred'\;k) \end{array}$$

$\mathbb{N} \simeq \mathbb{N} \times \mathbb{N}$