Phân tích phức tạp trong khoa học máy tính lý thuyết

24

Có nhiều ứng dụng phân tích thực trong khoa học máy tính lý thuyết, bao gồm kiểm tra tài sản, độ phức tạp trong giao tiếp, học PAC và nhiều lĩnh vực nghiên cứu khác. Tuy nhiên, tôi không thể nghĩ ra bất kỳ kết quả nào trong TCS dựa trên phân tích phức tạp (bên ngoài điện toán lượng tử, trong đó các số phức là nội tại trong mô hình). Có ai có một ví dụ về kết quả TCS cổ điển sử dụng phân tích phức tạp không?

soft-question big-picture

1

Câu hỏi tuyệt vời! Tôi sẽ đề nghị tốt hơn là loại trừ các kết quả liên quan đến lý thuyết số - ví dụ như bất kỳ việc sử dụng giả thuyết Riemann - thay vì điện toán lượng tử, có xu hướng về các hệ chiều hữu hạn (theo như tôi biết).

— Colin McQuillan

11

Chúng tôi sử dụng phân tích phức tạp trong một tờ giấy, Hằng số Grothendieck nhỏ hơn rất nhiều so với Giới hạn của Krivine, mà (theo quan điểm của TCS) đưa ra thuật toán gần đúng cho vấn đề tối đa hóa

\sum_{i, j} a_{i j} x_{i} y_{j}

$\sum_{i,j} a_{ij} x_i y_j$ đối với

x_{i}, y_{j} \in {\pm 1}

$x_i, y_j\in \{\pm 1\}$ . Xem ttic.uchicago.edu/~yury/ con / grothendieck

— Yury

3

@ Yury đó rất có thể là một câu trả lời.

— Suresh Venkat

14

Thuật toán dựa trên phức tạp của Barvinok để xấp xỉ các thuật toán thời gian đa thức vĩnh viễn cho các số vĩnh viễn và các phân biệt đối xử hỗn hợp trong một yếu tố đơn giản theo cấp số nhân .

Ngoài ra, rõ ràng, các toán tử phức tạp (và một số phân tích phức tạp) rất quan trọng trong điện toán lượng tử.

Tôi cũng đề nghị cuốn sách này: Các chủ đề trong phân tích biểu diễn của Eitan Bachmat với rất nhiều vấn đề lớn có liên quan và những điều tuyệt vời khác.

— Gil Kalai
nguồn

Đó là một ví dụ tuyệt vời, tôi không nhận thức được kết quả này - cảm ơn!

25

Đó không phải là vấn đề duy nhất, nhưng toàn bộ lĩnh vực tổ hợp phân tích (xem cuốn sách của Flajolet và Sedgewick ) tìm hiểu làm thế nào để phân tích tổ hợp phức tạp của ~~đếm~~ các cấu trúc (hoặc thậm chí lần thuật toán chạy) bằng cách viết xuống một chức năng tạo thích hợp và phân tích cấu trúc của các giải pháp phức tạp.

— Suresh Venkat
nguồn

Xin chào Suresh, ý của bạn là 'phân tích sự phức tạp'?

— Andy Drucker

2

Ah tôi viết sai. Tôi có nghĩa là "phân tích sự phức tạp tổ hợp của các cấu trúc" - sẽ khắc phục.

— Suresh Venkat

15

Jon Kelner đã giành giải thưởng sinh viên xuất sắc nhất STOC năm 2004 cho bài viết "Phân vùng quang phổ, giới hạn bản địa và gói vòng tròn cho đồ thị của chi giới hạn"

Tôi sẽ chỉ trích dẫn từ bản tóm tắt:

Là bổ đề kỹ thuật chính của chúng tôi, chúng tôi chứng minh một O (g / n) bị ràng buộc vào giá trị riêng nhỏ thứ hai của Laplacian của các biểu đồ như vậy và cho thấy rằng điều này là chặt chẽ, từ đó giải quyết một phỏng đoán của Spielman và Teng. Mặc dù bổ đề này về bản chất là tổ hợp, nhưng bằng chứng của nó xuất phát từ toán học liên tục, dựa trên lý thuyết về các gói hình tròn và hình học của các bề mặt Riemann nhỏ gọn.

Việc sử dụng phân tích phức tạp (và toán học "liên tục" khác) để tấn công các vấn đề phân tách biểu đồ "truyền thống" là đáng nhớ và là lý do chính khiến bài báo này bị mắc kẹt trong đầu tôi mặc dù nó hoàn toàn không liên quan đến nghiên cứu của tôi.

— Mugizi Rwebangira
nguồn

8

Tôi đoán rằng bạn có thể quan tâm nhiều hơn đến phân tích phức tạp được sử dụng trực tiếp trong bằng chứng. Tuy nhiên, đây là hai ví dụ từ lớp Thuật toán cấp độ sau đại học mà tôi hiện đang theo học:

a) Biến đổi Fourier nhanh, ví dụ được sử dụng trong phép nhân đa thức. Mặc dù việc thực hiện có thể được thực hiện với số học modulo hoặc dấu phẩy động (và một số phân tích số học), bằng chứng được hiểu rõ nhất về các số phức và gốc của sự thống nhất. Tôi chưa đi sâu vào chủ đề này, nhưng tôi biết rằng FFT có một loạt các ứng dụng.

b) Nói chung, việc trang bị mô hình RAM với khả năng xử lý các số phức trong thời gian không đổi (phần thực và phần ảo vẫn có độ chính xác hữu hạn) cho phép người ta mã hóa khéo léo các vấn đề và khai thác các thuộc tính của số phức có thể tiết lộ một giải pháp (xem cũng là ý kiến tại sao điều này sẽ không cho phép bạn nhanh hơn).

— chazisop
nguồn

Bạn có một ví dụ về quan sát thứ hai? Việc thêm một lớp "số nguyên O (log n)" phức tạp vào RAM tiêu chuẩn với các hoạt động thời gian không đổi là chuyện nhỏ. Hoặc bằng cách "nhanh hơn", bạn có nghĩa là "nhanh hơn với hệ số 2"?

— Jeffε

Đây là một bài tập từ bài giảng: "Giả sử bạn đang xử lý RAM mở rộng có thể tính toán với các số phức với chi phí đơn vị cho mỗi phép nhân, chia, cộng và trừ. Ngoài ra, nó cũng có thể tính giá trị tuyệt đối | c | của a phức tạp số c trong đơn vị thời gian. Hơn nữa nó “biết” các hằng số phức tạp 0, 1, và tôi. Chứng tỏ rằng được đưa ra một số nguyên dương n trên RAM mở rộng như vậy số n! có thể được tính trong

thời gian. Giải pháp sử dụng phép nhân đa thức, từ những gì tôi biết điều này nhanh hơn mô hình RAM tiêu chuẩn.

O (\sqrt{n} \log^{2} n)

$O( \sqrt{n} \log ^{2} n)$

— chazisop

6

Thuật toán đề xuất đòi hỏi số học thực chính xác vô hạn thời gian không đổi. (Bạn không thể tính số nguyên

trong

bằng cách sử dụng máy có các từ có tỷ lệ

, vì bạn thậm chí sẽ không có thời gian để ghi đầu ra!) Câu hỏi là yêu cầu bạn thêm căn bậc hai vào mô hình RAM thực chứ không phải số phức mỗi se.

Ω (n \log n)

$\Omega(n\log n)$

o (n)

$o(n)$

O (\log n)

$O(\log n)$

— Jeffε

Cảm ơn các bình luận, nó rất giác ngộ. Tôi nghĩ rằng tôi nên cập nhật câu trả lời của mình cho phần chỉ mã hóa một cách khéo léo một vấn đề với các số phức, tức là để xem một giải pháp mà bạn sẽ bỏ lỡ.

— chazisop

6

Có lẽ ứng dụng này có phần nào đó giữa toán học TCS và Disc, nhưng tôi hơi ngạc nhiên khi đọc bài báo "Trên các hàm Boolean uốn cong đối xứng" của Petr Savicky (http://www2.cs.cas.cz/~savicky/ giấy tờ / đối xứng.ps). Các định lý chỉ liên quan đến các hàm Boolean, tuy nhiên một trong những bằng chứng sử dụng các số phức.

— Magnus Tìm
nguồn

5

Chúng tôi sử dụng Định lý dư lượng của Cauchy từ phân tích phức tạp làm công cụ kỹ thuật chính trong bài viết " Dự đoán ngưỡng tuyến tính gần đúng " của chúng tôi .

— MCH
nguồn

5

Định lý đóng gói vòng tròn Koebe-Andreev-Thurston có nguồn gốc từ định lý ánh xạ Riemann và có các khía cạnh thuật toán khác nhau. Đối với bài kiểm tra, nó đưa ra một bằng chứng về định lý ngăn cách Lipton-Tarjan cho các đồ thị phẳng.

— Gil Kalai
nguồn

5

Tươi từ lò nướng:

Một thuật toán thời gian đa thức để phục hồi dân số bị mất bởi: Ankur Moitra, Michael Saks

Trích dẫn từ bài báo: "Ở đây chúng tôi sẽ chứng minh nguyên lý bất định được nêu trong phần trước bằng cách sử dụng các công cụ từ phân tích phức tạp. Có lẽ một trong những định lý hữu ích nhất trong việc tìm hiểu tốc độ tăng trưởng của các hàm biến hình trong mặt phẳng phức là Định lý ba vòng của Hadamard. .. "

— Gil Kalai
nguồn

σ

$\sigma$

p (0) - ϵ ‖ p ‖_{1}

$p(0) - \epsilon \|p\|_1$

n

$n$

p

$p$

‖ q ‖_{1} \leq 1

$\|q\|_1 \leq 1$

q

$q$

p

$p$

‖ \cdot ‖_{1}

$\|\cdot\|_1$ biểu thị tổng giá trị abs của các hệ số.

— arnab

‖ p ‖_{1} \geq ‖ p ‖_{s u p}^{D_{1}}

$\|p\|_1 \geq \|p\|_{sup}^{D_1}$

D_{1}

$D_1$

p (0) - ‖ p ‖_{s u p}^{D_{1}}

$p(0) - \|p\|_{sup}^{D_1}$

p

$p$

1

$1$

D_{1}

$D_1$ . Thực hiện một phép biến đổi tọa độ, chúng ta thấy mình trong thiết lập của định lý Ba vòng tròn: một hàm đa hình được giới hạn trên các điểm trong hai vòng tròn đồng tâm, giới hạn hàm trên bất kỳ vòng tròn nào có bán kính trung gian.

— arnab

‖ p ‖_{s u p}^{D_{1}} \geq | p (0) |^{Ω (1)}

$\|p\|_{sup}^{D_1} \geq |p(0)|^{\Omega(1)}$

p

$p$

1

$1$

D_{1}

$D_1$

5

$\ell_p$ $0 < p < 2$

Daniel M. Kane, Jelani Nelson, David P. Woodruff. Về độ phức tạp không gian chính xác của phác thảo và truyền các định mức nhỏ. SODA 2010.

Bạn có thể thoát khỏi việc viết một bằng chứng không đề cập đến phân tích phức tạp một cách rõ ràng (xem dấu đầu tiên trong phần "ghi chú" cho bài báo đó trên trang web của tôi), nhưng ngay cả bằng chứng đó cũng có phân tích phức tạp ẩn giấu dưới vỏ bọc.

— Jelani Nelson
nguồn

4

Có sử dụng số và phân tích phức tạp trong một bài báo gần đây của Naor, Regev và Vidick, mang lại kết quả trong các thuật toán gần đúng cho các vấn đề tối ưu hóa NP-hard: http://arxiv.org/abs/1210.7656

— Clement C.
nguồn

Một bài báo khác sử dụng nguồn gốc thống nhất ngẫu nhiên là Daniel M. Kane, Kurt Mehlhorn, Thomas Sauerwald và He Sun. Đếm các biểu đồ con tùy ý trong luồng dữ liệu. ICALP 2012.

— Nelson

3

$n + O(n/\sqrt{k})$ $k$ $n \times n$ $n!/n^n$ bởi Laurent và Schrijver trong MAA hàng tháng). Rời khỏi đường thẳng thực sự cho mặt phẳng phức tạp dường như rất cần thiết cho bằng chứng của Gurvits và đơn giản hóa rất nhiều vấn đề.

— Sasho Nikolov
nguồn

0

$z \leftarrow z^2 + c$

[1] Không thể truy cập và không thể thiếu trong tính toán, hình học và hệ thống động lực Asaki Saito, Kunihiko Kaneko

[2] Một lý thuyết về tính toán và độ phức tạp so với số thực Lenore Blum, 1990

— vzn
nguồn

0

$\mathbb{C}$

— Reb.Cabin
nguồn