Hậu quả của

Trong khi định lý của cho thấy, , tôi không biết về bất kỳ tài liệu nào điều tra về sự bao gồm có thể của . Những hậu quả phức tạp về mặt lý thuyết sẽ bao gồm như vậy? $\mathsf{BPP} \subseteq \mathsf{P}/\text{poly}$ $\mathsf{BQP} \subseteq \mathsf{P}/\text{poly}$

Định lý của Adman đôi khi được gọi là "tổ tiên của các đối số derandomization". được cho là có thể bị tách rời, trong khi không có bằng chứng nào cho thấy "lượng tử" của bằng cách nào đó có thể được loại bỏ. Đây có phải là bằng chứng có thể cho thấy không có khả năng nằm trong không? $\mathsf{BPP}$ $\mathsf{BQP}$ $\mathsf{BQP}$ $\mathsf{P}/\text{poly}$

— Martin Schwarz
nguồn

Tôi muốn nói rằng chúng ta không có lý do chính đáng để nghĩ BQP nằm trong P / poly. Chúng tôi có lý do để nghĩ rằng BQP không có trong P / poly, nhưng chúng ít nhiều giống với lý do của chúng tôi để nghĩ rằng BQP ≠ BPP. Ví dụ: nếu BQP⊂P / poly thì Factoring nằm trong P / poly, đủ để phá vỡ nhiều mật mã theo định nghĩa bảo mật tiêu chuẩn.

Ngoài ra, như bạn đã chỉ ra một cách chính xác, không có sự tương tự lượng tử về mánh khóe của Adman --- thực sự, không có cách nào để "rút lượng tử ra khỏi thuật toán lượng tử", tương tự như cách người ta có thể rút ngẫu nhiên ra khỏi thuật toán ngẫu nhiên. Vì vậy, tôi không nghĩ có ai đoán được lời khuyên P / poly cho việc mô phỏng máy tính lượng tử thậm chí nên bao gồm (bất kỳ nhiều hơn họ đoán, trong trường hợp NP so với P / poly).

Lưu ý cuối cùng: công việc của tôi với Alex Arkhipov (và công việc độc lập của Bremner-Jozsa-Shepherd), có thể dễ dàng được điều chỉnh để cho thấy rằng nếu QUANTUM-SAMPLING nằm trong P / poly (OK, trong "BPP-SAMPLING / poly") , sau đó P ^#P ⊂BPP ^NP / poly, và do đó hệ thống cấp bậc đa thức sụp đổ --- trong trường hợp này, tôi nghĩ, đến thứ tư cấp. Tuy nhiên, hiện tại, chúng tôi không biết làm thế nào để điều chỉnh loại kết quả này từ các vấn đề lấy mẫu sang các vấn đề quyết định.

— Scott Aaronson
nguồn

Cảm ơn bạn rất nhiều vì đã trả lời, Scott! Một điều tôi đang tự hỏi: các kết quả đã biết liên quan đến P ^ # P với mức độ PH / poly là gì? Điều gì thực sự được biết về P ^ # P so với PH / poly? (ví dụ: có một số phiên bản không đồng nhất của định lý Toda không?). Tại sao P ^ # P trong PH / poly sẽ thu gọn PH / poly, nếu chúng ta không biết PH / poly trong P ^ # P? Hay tôi còn thiếu gì?

— Martin Schwarz

Điều người ta cần làm ở đây là khái quát hóa bằng chứng của Định lý Karp-Lipton. Bước đầu tiên, không khó để thể hiện (sử dụng lý luận theo kiểu KL) rằng nếu coNP ở NP / poly, thì PH thu gọn xuống cấp 3. Nhưng điều đó sẽ tương đối hóa, để chỉ ra rằng nếu coNP ^ NP ^ NP ở NP ^ NP ^ NP / poly, thì PH sụp đổ xuống cấp 5. Và chắc chắn P ^ # P trong BPP ^ NP / poly ngụ ý coNP ^ NP ^ NP nằm trong NP ^ NP ^ NP / poly. Nhưng hmm, tôi chỉ nhận được một sự sụp đổ đến cấp 5 ở đây! Giả sử điều này là chính xác, bất cứ ai cũng có thể cải thiện nó thành sự sụp đổ cấp độ 4? (Nếu không, đó là sự sụp đổ PH "cao nhất" mà tôi từng thấy! :))

— Scott Aaronson

Cấp 3 sẽ làm. Cả

và Karp-Lipton tương đối hóa, vì vậy đầu tiên

, và thứ hai, nếu

, sau đó

B P P \subseteq P / p o l y

$\mathrm{BPP}\subseteq\mathrm P/\mathrm{poly}$

{B P P}^{N P} / p o l y = P^{N P} / p o l y

$\mathrm{BPP}^\mathrm{NP}/\mathrm{poly}=\mathrm{P}^\mathrm{NP}/\mathrm{poly}$

Σ_{2}^{P} \subseteq {(B P) P}^{N P} / p o l y

$\Sigma^P_2\subseteq\mathrm{(BP)P}^\mathrm{NP}/\mathrm{poly}$

Σ_{3}^{P} = Π_{3}^{P}

$\Sigma^P_3=\Pi^P_3$

S_{3}^{P} \subseteq Z P P^{N P^{N P}} \subseteq Σ_{3}^{P} \cap Π_{3}^{P}

$S^P_3\subseteq\mathrm{ZPP^{NP^{NP}}}\subseteq\Sigma^P_3\cap\Pi^P_3$

S^{P}

$S^P$