Những gì được biết về sự phức tạp của việc tìm kiếm các mạch tối thiểu cho SAT?

Những gì được biết về sự phức tạp của việc tìm các mạch tối thiểu tính toán SAT lên đến chiều dài ? $n$

Chính thức hơn: độ phức tạp của hàm là gì, được đưa ra khi đầu vào xuất ra một mạch tối thiểu sao cho bất kỳ công thức với , ? C φ | φ | ≤ n C ( φ ) = S Một T ( φ $1^{n}$$C$$\varphi$$|\varphi| \leq n$$C(\varphi) = SAT(\varphi)$

(Tôi đặc biệt quan tâm đến giới hạn dưới.)

Thuật toán xác định ngây thơ (tính SAT bằng lực mạnh lên đến độ dài , sau đó thử tất cả các mạch theo thứ tự kích thước cho đến khi bạn tìm thấy một phép tính chính xác SAT lên đến độ dài ) mất thời gian để tính toán SAT, và sau đó thêm một thời gian để tìm một mạch tối thiểu, trong đó là kích thước của mạch tối thiểu. n ≤ 2 O ( n ) O ( 2 n 2 M ) $n$$n$$\leq 2^{O(n)}$$O(2^n 2^M)$$M$

Có một thuật toán xác định tìm thấy các mạch tối thiểu cho SAT có thời gian chạy là , trong đó là kích thước của mạch tối thiểu? Hay điều này ngụ ý một số sụp đổ phức tạp?$o(2^n 2^M)$$M$

Đây là hai điều, mặc dù liên quan đến câu hỏi của tôi, chắc chắn không phải là điều tôi đang hỏi (đó là, tôi nghĩ, tại sao tôi thấy hơi khó tìm kiếm):

• Các mạch giảm thiểu vấn đề: cho một mạch (hoặc một hàm do bảng sự thật của nó, hoặc một số biến thể khác) tìm thấy một mạch tối thiểu máy tính chức năng tương tự như . Ngay cả khi việc giảm thiểu mạch là dễ dàng, điều đó không nhất thiết có nghĩa là nhiệm vụ trên là dễ dàng, vì ngay cả việc tính toán chức năng mà chúng ta muốn giảm thiểu (SAT lên đến chiều dài ) được cho là khó, trong khi trong vấn đề giảm thiểu mạch là chức năng chúng ta muốn giảm thiểu là miễn phí (nó được đưa ra làm đầu vào).f C ′ C $C$$f$$C'$$C$$n$

• $NP$ so với . Câu hỏi của tôi không chỉ đơn thuần là về kích thước của mạch tối thiểu; đó là về sự phức tạp của việc tìm kiếm một mạch tối thiểu, bất kể kích thước của nó. Rõ ràng nếu chúng ta có thể tính toán các mạch tối thiểu trong thời gian đa thức thì (và trên thực tế , từ đó họ mạch là -uniform), nhưng điều ngược lại không đúng. Thật vậy, tôi tin rằng Immerman và Mahaney là những người đầu tiên xây dựng một nhà tiên tri trong đó nhưng - nghĩa là có các mạch có kích thước đa thức nhưng chúng không thể được tìm thấy trong thời gian đa thức.$P/poly$$NP \subseteq P/poly$$NP \subseteq P$$P$P ≠ N P N $NP \subseteq P/poly$$P \neq NP$$NP$

Chúng ta hãy giả sử rằng người ta không thể giải SAT nhanh hơn không đồng đều hơn thống nhất. Đó là, có một TM M giải SAT trong thời gian T (n) và mạch nhỏ nhất cho SAT có kích thước T '(n) không nhỏ hơn T (n) (giả sử, - đặc biệt này nắm giữ nếu mạch nhỏ nhất để giải quyết SAT có kích thước 2 Ω ( n ) mà rất có thể là sự thật).$T(n) = poly(T'(n))$$2^{\Omega(n)}$

Vì vậy, bạn có thể có được một mạch tối thiểu "gần như" chỉ bằng cách chạy một số mô phỏng chính tắc của M bằng một mạch, trong thời gian đó về cơ bản là tối ưu (mất nhiều thời gian để bạn viết đầu ra). Chỉ vì lý do này, tôi đoán sẽ không có giới hạn thấp hơn cho câu hỏi này dựa trên bất kỳ giả định "tốt đẹp" nào. Tuy nhiên, tôi không biết làm thế nào để đi từ "gần như tối thiểu" đến thực sự tối thiểu. Một cách để làm như vậy sẽ là sử dụng thực tế là việc tìm mạch có kích thước là một câu hỏi trong hệ thống phân cấp đa thức,$S$$T(T(n))$$2^{o(M)}$ .$T(n)=2^{n^{o(1)}}$