Các trò chơi Ehrenfeucht-Fraïssé (thực tế là Ajtai-Fagin) cho các ngôn ngữ thông thường.

Immerman (Descriptive Complexity, 1999) trình bày các trò chơi EF cho thứ tự đơn âm thứ hai hiện sinh (trò chơi Ajtai-Fagin) trên trang 127. Vì MSO trên các từ tương đương với các ngôn ngữ thông thường, trò chơi có thể được viết như sau.$\exists$

Một ngôn ngữ là thường xuyên khi và chỉ khi Delilah không có chiến lược chiến thắng trong trò chơi sau: 1. Samson chọn , 2. Delilah chọn , 3. Samson chọn tập hợp con của tập hợp các vị trí trong (tức là ), 4. Delilah chosses và tập con của tập các vị trí trong , 5. Samson và Delilah chơi -turn EF trò chơi trên c , m ∈ N w ∈ L c C w 1 , ... , C w c w { 0 , ... , | w | - 1 } v ∉ L c C v 1 , ... , C v c v m ( S ( w ) , C $L \subseteq \{a, b\}^*$
$c, m \in \mathbb{N}$
$w \in L$
$c$$C_1^w, \ldots, C_c^w$$w$$\{0, \ldots, |w|-1\}$
$v \not\in L$$c$$C_1^v, \ldots, C_c^v$$v$
$m$$(\mathfrak{S}(w), C_1^w, \ldots, C_c^w)$ và , trong đó là cấu trúc được liên kết với từ , nghĩa là: với và là vị từ kế vị nhị phân.S ( w ) w S ( w ) = ⟨ { 0 , ... , | w | - 1 } , S U C C , Q một , Q b ⟩ Q l = { $(\mathfrak{S}(v), C_1^v, \ldots, C_c^v)$
$\mathfrak{S}(w)$$w$

$$\mathfrak{S}(w) = \langle \{0, \ldots, |w|-1\}, SUCC, Q_a, Q_b \rangle$$ S U C $Q_l = \{p \;|\; w_p = l\}$$SUCC$

Tôi có hai câu hỏi:
- Làm thế nào để một người cho thấy không thường xuyên, sử dụng đối số EF như thế này - Có dễ hơn / khó hơn khi chơi các trò chơi đó (để hiển thị không đều đặn) khi một người đặt hàng thay vì quan hệ kế nhiệm không? (Đó là tương đương trong MSO hiện sinh).$\{a^nb^n \;|\; n \in \mathbb{N}\}$

Chúng tôi sẽ đưa ra một chiến lược chiến thắng cho Delilah. Hãy để Samson chọn và . Sau đó Delilah chọn cho một lớn sẽ được xác định sau. Hãy để Samson chọn các tập con của mình mà chúng ta xem là màu của các vị trí của với màu. Hãy để biểu thị từ màu này. Mục tiêu của Delilah tại thời điểm này là tìm một phân đoạn của với các thuộc tính sau cho một và một sẽ được chọn sau:m w = một n b n n C w 1 , ... , C w c w 2 c w ' w ' [ i , ... , j ] w $c$$m$$w = a^n b^n$$n$$C^w_1,\ldots,C^w_c$$w$$2^c$$w'$$w'[i,\ldots,j]$$w'$$r$$t$

1. w $0 \leq i \leq j \leq n$ (do đó đoạn này thuộc về phần đầu tiên của ),$w'$
2. các -neQUs (vùng lân cận bán kính ) của và trong là đẳng cấu,r i j w $r$$r$$i$$j$$w'$
3. với mọi , -neQU của trong xuất hiện dưới dạng -neQU của ít nhất các vị trí khác của .r k w ' r t w $k \in [i,\ldots,j]$$r$$k$$w'$$r$$t$$w'$

Nếu cô ấy quản lý để làm điều đó, thì cô ấy sẽ chọn từ màu của mình là Nếu là -word bên dưới , thì nó sẽ tuân theo không thuộc về (vì chúng tôi đã bơm một đoạn không trống của ' s) và Delilah có chiến lược chiến thắng trong - bật trò chơi EF trên và (điều này tuân theo Định lý Hanf nếu và đủ lớn đối với và

$$v' = w'[0,\ldots,i-1] w'[i,\ldots,j]^2 w'[j+1,\ldots,2n-1].$$ $v$${a,b}$$v'$$v$$L$$a$$m$$w'$$v'$$r$$t$$c$$m$; xem Định lý 1.4.1 trong cuốn sách "Lý thuyết mô hình hữu hạn" của Ebinghaus và Flum.

Do đó, vẫn còn cho thấy rằng nếu đủ lớn đối với , , và chúng ta có thể tìm thấy một phân đoạn như trên. Nhưng điều này xuất phát từ một đối số pigeonhole tiêu chuẩn sử dụng thực tế là số lượng các kiểu đẳng cấu của -neQUs là hữu hạn.c m r t w ' [ i , ... , j ] $n$$c$$m$$r$$t$$w'[i,\ldots,j]$$r$

Điều này làm việc cho các cấu trúc kế nhiệm. Với một trật tự tuyến tính, nó sẽ khó hơn một chút nhưng tôi đã không nghĩ nhiều về nó.

Lưu ý rằng, không có gì đáng ngạc nhiên, đối số này trông hơi giống với đối số "bơm" trong automata. Tuy nhiên, nó không ngớ ngẩn như chỉ dịch công thức sang máy tự động. Tôi nghĩ rằng nó được tính là một đối số lý thuyết mô hình.