Định nghĩa đúng của

Như tiêu đề nói, định nghĩa chính xác của -tree là gì? Có một số giấy tờ mà nói về k -trees và một phần k -trees như định nghĩa thay thế cho đồ thị với treewidth bị chặn, và tôi đã nhìn thấy nhiều định nghĩa dường như không chính xác. Ví dụ: ít nhất một nơi định nghĩa $k$$k$$k$$k$ -trees như sau:

Một đồ thị được gọi là -tree khi và chỉ khi G là đồ thị hoàn chỉnh có k đỉnh hoặc G có đỉnh v với độ k - 1 sao cho G ∖ v là k -tree. Một phần k -tree là bất kỳ sơ đồ con nào của k -tree.$k$$G$$k$$G$$v$$k − 1$$G \setminus v$$k$$k$$k$

Theo định nghĩa này, người ta có thể tạo biểu đồ sau:

1. Bắt đầu với một cạnh , 2 -ree.$(v_1, v_2)$$2$
2. Đối với , tạo một đỉnh v i và làm cho nó tiếp giáp với v i - 1 và v i - $i=1\ldots n$$v_i$$v_{i-1}$$v_{i-2}$ .

Làm điều này sẽ tạo ra một dải hình vuông với các đường chéo. Tương tự, chúng ta có thể bắt đầu tạo một dải từ hình vuông đầu tiên theo hướng trực giao với dải phía trên. Sau đó, chúng ta sẽ có hàng đầu tiên và cột đầu tiên của n × $n$$n \times n$ lưới. Việc điền vào lưới dễ dàng bằng cách tạo các đỉnh và nối chúng với các đỉnh ở phía trên và bên trái của nó.

Kết quả cuối cùng là một đồ thị có chứa một lưới, trong đó, có hiệu lực, được biết đến là của treewidth $n\times n$$n$ .

Một định nghĩa đúng về $k$ -trees phải như sau:

Đồ thị được gọi là -tree khi và chỉ khi G là đồ thị hoàn chỉnh có k đỉnh hoặc G có đỉnh v với độ k - 1 sao cho hàng xóm của v tạo thành k -clique và G v là a k -tree.$k$$G$$k$$G$$v$$k-1$$v$$k$$G \ v$$k$

Sau đó, đồ thị giống như lưới được mô tả như trên không thể được tạo ra.

Tôi có đúng không?

Về cơ bản, tôi đồng ý với bạn, chỉ với một sửa đổi nhỏ:

Đồ thị $G$ là một $k$ -tree khi và chỉ khi $G$ là một đồ thị hoàn chỉnh với các đỉnh $k+1$ hoặc $G$ có một đỉnh $v$ sao cho vùng lân cận (mở) của $v$ tạo thành một $k$ -clique và $G - v$ là một $k$ -tree.

Nói cách khác, $v$ nên có độ $k$ , thay vì $k-1$ trong định nghĩa của bạn.

Cá nhân tôi thích định nghĩa từ dưới lên, nhưng đây chỉ là vấn đề của hương vị:

• Đồ thị hoàn chỉnh trên các đỉnh $k+1$ là $k$ -tree.
• Một $k$ -cây $G$ với $n+1$ đỉnh ( $n\ge k+1$ ) có thể được xây dựng từ một $k$ -cây $H$ với $n$ đỉnh bằng cách thêm một đỉnh kề chính xác $k$ đỉnh mà tạo thành một $k$ -clique trong $H$ .
• Không có đồ thị khác là $k$ -trees.

Định nghĩa này là một phiên bản sửa đổi một chút của định nghĩa từ các ghi chú bài giảng của Pinar Heggernes .