Sự phức tạp của các tập hợp SAT sau đây là gì?

Giả sử $P \neq NP$

Hãy sử dụng ký hiệu sau cho phép tetration (nghĩa là ). ${}^ia$ ${}^ia = \underbrace{a^{a^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{a}}}}}}_{i \mbox{ times}}$

| x | là kích thước của thể hiện x.

Đặt L là ngôn ngữ, $L|_{f(i)\leq |x| < g(i)} := \{ x \in L \mbox{ | } \exists i \in \mathbb{N}\mbox{, } f(i) \leq |x| < g(i) \}$

Sự phức tạp của các ngôn ngữ sau đây là gì:

$L_1 = SAT|_{{}^{2i}2 \leq |x| < {}^{2i+1}2}$ $L_2 = SAT|_{{}^{2i+1}2 \leq |x| < {}^{2i+2}2}$

Vì , họ không thể ở cả P theo giả định rằng . Vì cả hai đều có lỗ theo cấp số nhân, tôi không nghĩ SAT có thể rút gọn thành một. $L_1 \sqcup L_2 = SAT$ $P \neq NP$

Do đó, trực giác sẽ là cả hai đều thuộc NPI, nhưng tôi không thể tìm thấy bằng chứng hay không chắc chắn.

Hai ngôn ngữ khác là $L_3 = SAT|_{|x|={}^{2i+1}2}$ $L_4 = SAT|_{|x|={}^{2i}2}$

Nếu một trong cả hai nằm trong NPC, thì cái kia ở P vì với mỗi thể hiện của một, nó không thể được chuyển đổi thành một thể hiện lớn hơn của cái kia vì nó có kích thước theo cấp số nhân và các thể hiện nhỏ hơn có kích thước logarit. Vẫn bằng trực giác, không có lý do tại sao họ sẽ có một sự phức tạp khác nhau. Sự phức tạp của họ sẽ là gì?

Bằng chứng của Ladner về các vấn đề NPI theo giả định sử dụng các ngôn ngữ như hoặc , nhưng và không được xây dựng bằng cách chéo. $P \neq NP$ $L_1$ $L_2$ $L_1$ $L_2$

cc.complexity-theory np-hardness complexity-classes

— Ludovic Patey
nguồn

Ngôn ngữ của bạn có nhiều trường hợp được đệm bằng cách thêm các mệnh đề bổ sung không tương tác với nhau. Do đó, chúng có vẻ NPI bởi đối số đường chéo của Schöning? dx.doi.org/10.1016/0304-3975(82)90114-1

— András Salamon

Sau "họ không thể là cả hai trong P", nên nói "theo giả định rằng P NP ..."

\neq

$\ne$

— Emil

Tôi đã thêm "theo giả định" ngay cả khi tôi đã đặt giả định này trước đó.

— Ludovic Patey

Nếu L1 hoặc L2 hoàn thành NP, thì Giả thuyết đẳng cấu không thành công, vì cả L1 và L2 đều không phải là hình trụ (có chức năng đệm). Vì vậy, việc chứng minh rằng một trong số chúng là NP-perfect đòi hỏi các kỹ thuật không tương đối hóa. Tôi chưa thấy bất kỳ rào cản nào cho thấy rằng một trong số chúng không phải là NP hoàn chỉnh.

— Joshua Grochow

Tôi có thể đã không rõ ràng với số lượng của tôi. Hãy để tôi thêm dấu ngoặc đơn: không tồn tại một máy tiên tri đa thời gian

sao cho [với mọi

[

giải quyết

]]. Đó là, đối với bất kỳ

, nó có thể là cho một số X,

giải quyết một trong những ngôn ngữ, nhưng nó không thể là sự thật cho tất cả

. Vì vậy, ví dụ,

không có lời tiên tri có thể giải quyết

(không liên quan), nhưng không có vấn đề gì với

M

$M$

X

$X$

M^{X}

$M^X$

L_{1}^{X} o r L_{2}^{X}

$L_1^X or L_2^X$

M

$M$

M^{X}

$M^X$

X

$X$

M

$M$

L_{1}

$L_1$

M

$M$ là, sẽ có một số lời tiên tri mà nó không giải quyết được một trong hai ngôn ngữ.

— Joshua Grochow

Tôi nghĩ cả hai đều là NPI theo giả định mạnh hơn (nhưng rõ ràng là đúng) rằng NP không nằm trong "P thường xuyên vô hạn" - tức là mọi thuật toán thời gian đa thức A và mọi n đủ lớn, A không thể giải SAT trên các đầu vào có độ dài n.

Trong trường hợp này, các ngôn ngữ như vậy không nằm trong P, nhưng chúng cũng không thể hoàn thành NP, vì nếu không, việc giảm từ SAT sang ngôn ngữ L có lỗ hổng lớn sẽ tạo ra thuật toán cho SAT thành công trên các lỗ này.

Giả định như vậy cũng là cần thiết, vì nếu không các ngôn ngữ có thể ở dạng P hoặc NP hoàn chỉnh, tùy thuộc vào vị trí của "độ dài đầu vào dễ dàng".

— Boaz Barak
nguồn

@Boaz: Tôi có thể hiểu ý của bạn là gì bởi "giả định như vậy là cần thiết", nhưng tôi gặp khó khăn trong việc chính thức hóa sự cần thiết. Tôi nghĩ rằng người ta xây dựng một orory

, không có quá nhiều khó khăn, như

, có một máy đa thời gian

sao cho

quyết định

trên vô số độ dài đầu vào, nhưng

và

là

liên tục.

X

$X$

P^{X} \neq N P^{X}

$P^X \neq NP^X$

M

$M$

M^{X}

$M^X$

S A T^{X}

$SAT^X$

L_{1}^{X}

$L_1^X$

L_{2}^{X}

$L_2^X$

N P^{X}

$NP^X$

— Joshua Grochow

Những gì tôi có nghĩa là giả định

là chưa đủ ngày của riêng mình để hiển thị các thứ tiếng là NP-trung gian, vì chúng ta không thể loại trừ những trường hợp đó

nhưng có một thuật toán mà giải quyết SAT chính xác vào các yếu tố đầu rằng

là không tầm thường, trong trường hợp đó

sẽ ở

và

sẽ là NPC.

N P \neq P

$NP\neq P$

N P \neq P

$NP\neq P$

L_{1}

$L_1$

L_{1}

$L_1$

P

$P$

L_{2}

$L_2$

— Boaz Barak

@Boaz: À tất nhiên rồi. Một chính thức hóa này là một lời sấm

mà

nhưng

(mà tôi tin rằng, tương tự như oracle khác tôi đã đề cập, không phải là quá khó khăn để xây dựng). (PS - Bằng cách sử dụng @name, nó đảm bảo rằng người dùng khác được thông báo về nhận xét của bạn.)

X

$X$

P^{X} \neq N P^{X}

$P^X \neq NP^X$

L_{1}^{X} \in P

$L_1^X \in P$

— Joshua Grochow

@Joshua: Nếu

để cho

là một máy Poly-time cho

, sau đó

cũng sẽ giải quyết

kể từ khi trường hợp mà không cần truy vấn để oracle chỉ là một trường hợp đặc biệt. Vì vậy, nếu bạn có thể tạo một

như bạn mô tả nó, bạn chứng minh rằng

vì vậy tôi thực sự không hiểu làm thế nào bạn có thể làm điều đó.

L_{1}^{X} \in P

$L_1^X\in P$

M

$M$

L_{1}^{X}

$L_1^X$

M

$M$

L_{1}

$L_1$

X

$X$

P_{1} \in P

$P_1\in P$

— Arthur MILCHIOR

@Joshua: về nhận xét đầu tiên của bạn dưới Boaz Barak, nếu

giải quyết

(trên vô số độ dài đầu vào) sau đó tôi đoán bạn muốn bạn

ít nhất là một oracle cho

. Nhưng kể từ khi bạn có thể truy vấn để

trong công thức của bạn #, sau đó trong thực tế, bạn thậm chí không cần

là một oracle cho

. Làm thế nào bạn có thể chỉ ra rằng một định nghĩa đệ quy như vậy là chính xác? Nó dường như không rõ ràng với tôi. (# Tôi đoán rằng SAT ^ X là SAT trong đó X cũng có thể nằm trong các mệnh đề)

M \in P^{X}

$M\in P^X$

S A T^{X}

$SAT^X$

X

$X$

S A T

$SAT$

X

$X$

X

$X$

S A T^{X}

$SAT^X$

— Arthur MILCHIOR