Các thuật toán song song cho kết nối theo hướng

Chong, Han và Lam đã chỉ ra rằng kết nối st không mong muốn có thể được giải quyết trên EREW PRAM trong thời gian với $O({\log}n)$ $O(m+n)$ bộ xử lý . Thuật toán song song nổi tiếng nhất cho kết nối st theo hướng là gì? Vui lòng cho biết thời gian chạy, thuật toán xác định / ngẫu nhiên và mô hình PRAM được sử dụng (giả sử số lượng bộ xử lý là đa thức). Có bất kỳ thuật toán song song thời gian nào được biết cho bất kỳ trường hợp đặc biệt nào của kết nối st theo hướng không? $o({\log}^2{n})$

dc.parallel-comp

— Shiva Kintali
nguồn

Wikipedia cho biết bộ xử lý poly (n) + thời gian polylog trên EREW PRAM giống như NC. Tôi không quen thuộc lắm với mô hình EREW PRAM, nhưng có mối liên hệ nào giữa

time (và đa thức nhiều bộ xử lý) và

không? Nói cách khác, có cách nào để viết lại câu hỏi của bạn theo các mạch có độ sâu giới hạn không?

(\log n)^{i}

$(\log n)^i$

N C^{i}

$NC^i$

— Robin Kothari

các mô hình RAM song song khác nhau tương đương với các yếu tố nhật ký, do đó, trong khi EREW PRAM khớp với NC, điều này có thể không đúng với các quyền hạn nhật ký cụ thể.

— Suresh Venkat

Với các hạn chế thích hợp đối với bộ xâm nhập, thời gian O (đăng nhập ^ in) trên CRCW PRAM hoàn toàn chính xác AC ^ i, với i> = 1.

— Kristoffer Arnsfelt Hansen

Nếu có một đường dẫn

, nó có thể tìm thấy nó không?

s - t

$s-t$

— Kumar

Câu trả lời:

Directed st reachability có thể dễ dàng được thực hiện bằng (O ) xử lý và O ) thời gian trên một CRCW-PRAM, hoặc trong thời gian O ( ) xử lý và O ( ) thời gian trên một EREW-PRAM nơi là số mũ nhân ma trận và là số đỉnh. Các giấy tờ sau đây tuyên bố O ( ) và O ( $n^3$ $(\log n$ $n^\omega$ $\log^2 n$ $\omega<2.376$ $n$ $n^\omega$ $\log n$ ) thời gian trên CREW-PRAM: "Thuật toán song song tối ưu cho đóng cửa bắc cầu và vị trí điểm trong các cấu trúc phẳng" của Tamassia và Vitter. Các bài báo khác khẳng định điều tương tự và trích dẫn khảo sát Karp và Ramachandran (Thuật toán song song cho các máy có bộ nhớ dùng chung, trong: J. van Leeuwen (Ed.), Sổ tay khoa học máy tính lý thuyết). Bản thân cuộc khảo sát đã đề cập rằng việc đóng bắc cầu là trong AC1 và do đó có thể được giải quyết trong thời gian O (log n) trên CRCW-PRAM, nhưng phần về CREW-PRAM bị thiếu.

Tất cả các thuật toán giống như Strassen để nhân ma trận (bao gồm cả thuật toán của Coppersmith-Winograd) về cơ bản là các thuật toán song song chạy trong thời gian O ; đóng cửa quá độ phát sinh một nhật ký bổ sung (nhưng nếu bạn cho phép quạt không giới hạn - trong ma trận O ( ) tầm thường có thể được thực hiện ở độ sâu không đổi và do đó khả năng tiếp cận là trong thời gian O trên CRCW-PRAM). Đây là một vấn đề mở để cải thiện số lượng bộ xử lý từ mức tốt nhất hiện tại ~ $(\log n)$ $n^3$ $(\log n)$ ; nó cũng là một vấn đề mở lớn nếu khả năng tiếp cận nằm trong NC1, vì nó sẽ bao hàm L = NL trong số những thứ khác. $n^{2.376}$

— virgi
nguồn

Bạn có thể vui lòng thêm các tài liệu tham khảo.

— Shiva Kintali

Tôi chỉ biết về thời gian O (log n) trên CRCW PRAM. Đó có phải là những gì bạn có ý nghĩa?

— Kristoffer Arnsfelt Hansen

O (logn) trên CREW là tuyệt vời. Đó là những gì tôi đang tìm kiếm. Tôi muốn chấp nhận câu trả lời của bạn. Vui lòng thêm tài liệu tham khảo.

— Shiva Kintali

Chúng ta cần các phép lặp O (logn) của phép nhân ma trận để giải quyết kết nối st.

— Shiva Kintali

Về mặt thuật toán song song, bạn cần lặp lại O (log n) của ma trận nhiều để giải quyết khả năng tiếp cận; đây không phải là trường hợp của các thuật toán tuần tự vì bạn có thể thực hiện một số điều đệ quy thông minh (xem Fisher & Meyer'71). Tuy nhiên, nếu mô hình tính toán của bạn cho phép quạt không giới hạn (như với AC1 và do đó CRCW PRAM), ma trận mult có thể được thực hiện ở độ sâu không đổi và do đó việc đóng bắc cầu có thể được thực hiện ở độ sâu logarit.

— virgi

Cuốn sách "Giới thiệu về thuật toán song song" của Joseph Jája (1992) liệt kê các kết quả sau đây cho việc đóng cửa bắc cầu:

và hoạt động trên PRAM CRCW chung. $O(\log n)$ $O(n^3 \log n)$
thời gian và làm việc trên một PRAM CREW. $O(\log^2 n)$ $O(n^\omega \log n)$

Đối với câu hỏi liệu có bất kỳ thứ gì nhanh hơn được biết đến với các lớp biểu đồ đặc biệt hay không, Bài tập 5.34 trong cuốn sách đưa ra ví dụ sau, trong đó người ta có thể lấy $O(\log n)$ thời gian trên CREW PRAM:

Lớp đồ thị theo chu kỳ có hướng, sao cho mỗi hai đỉnh và , có nhiều nhất một đường dẫn từ đến . $u$ $v$ $u$ $v$

— Kristoffer Arnsfelt Hansen
nguồn

Vì vậy, có vẻ như việc tìm kiếm thuật toán song song thời gian o (log ^ 2 {n}) trên CREW PRAM cho các đồ thị có hướng chung là một vấn đề mở.

— Shiva Kintali

Lưu ý rằng tôi đã nói o (log ^ 2 {n}) chứ không phải O (log ^ 2 {n}).

— Shiva Kintali

Bạn có quan tâm đến việc giữ cho công việc nhỏ, không chỉ là đa thức, có một thuật toán tao nhã của Ullman và Yannakakis cho phép đánh đổi thời gian / công việc. Bảng 1 trong bài viết của tôi về tính toán các thành phần được kết nối mạnh song song tóm tắt các kết quả kết nối theo hướng song song mà tôi biết: http://www.cs.brown.edu/~ws/ con / scc.pdf .

— Warren Schudy
nguồn