Tìm các lỗ lẻ trong đồ thị Paley tuần hoàn

Các đồ thị Paley P _q là những đồ thị có tập đỉnh được cho bởi trường hữu hạn GF (q), cho các lũy thừa q≡1 (mod 4) và trong đó hai đỉnh liền kề nhau và chỉ khi chúng khác nhau bởi ² đối với một số một ∈ GF (q). Trong trường hợp q là số nguyên tố, trường hữu hạn GF (q) chỉ là tập hợp các số nguyên modulo q.

Trong một bài báo gần đây , Maistrelli và Penman chỉ ra rằng đồ thị Paley duy nhất hoàn hảo (có số màu bằng với kích thước của cụm lớn nhất của nó) là một trên chín đỉnh. Cụ thể, điều này ngụ ý rằng không có đồ thị Paley P _q nào là hoàn hảo cho q nguyên tố.

Các mạnh Perfect Graph lý khẳng định rằng một đồ thị G là hoàn hảo khi và chỉ khi cả hai G và bổ sung của nó thiếu lỗ lẻ (một đồ thị con gây ra mà là một chu kỳ có độ dài lẻ, và kích thước ít nhất là 5.) Các đồ thị Paley trật tự thủ là tự bổ sung, và không hoàn hảo; do đó chúng phải chứa các lỗ lẻ.

Câu hỏi. Đối với số nguyên tố q≡1 (mod 4), có thuật toán poly (q) để tìm lỗ lẻ trong P _q không? Có một thuật toán polylog (q)? Tính ngẫu nhiên và các phỏng đoán lý thuyết số phổ biến được cho phép.

Tôi tin rằng có một thuật toán poly (q) đã biết. Sự hiểu biết của tôi về thuật toán của Chudnovsky, Cornuéjols, Liu, Seymour và Vušković, "Nhận biết đồ thị Berge", Combinatorica 2005 , là nó tìm thấy một lỗ hổng kỳ lạ hoặc một lỗ hổng kỳ lạ trong bất kỳ đồ thị không hoàn hảo nào trong thời gian đa thức. Các tác giả viết trên trang 2 của bài báo của họ rằng vấn đề tìm các lỗ lẻ trong đồ thị vẫn còn mở, bởi vì bước 1 và 3 của thuật toán của họ tìm thấy các lỗ nhưng thay vào đó, bước 2 có thể tìm thấy một lỗ hổng. Tuy nhiên, trong trường hợp đồ thị Paley, nếu bạn tìm thấy một lỗ hổng, chỉ cần nhân tất cả các đỉnh trong nó với một không phản hồi để biến nó thành một lỗ lẻ.

Ngoài ra, bằng cách tương tự với biểu đồ Rado, với mỗi k nên có một N sao cho đồ thị Paley trên N hoặc nhiều đỉnh phải có thuộc tính mở rộng: đối với bất kỳ tập hợp con nào có ít hơn k đỉnh và bất kỳ 2 màu nào của tập hợp con, tồn tại một đỉnh khác liền kề với mọi đỉnh trong một lớp màu và không liền kề với mọi đỉnh trong lớp màu khác. Nếu vậy, với k = 5, bạn có thể xây dựng một lỗ 5 lỗ lẻ trong thời gian đa thức trên mỗi bước. Có lẽ hướng này là hy vọng cho thuật toán poly (log (q))? Nếu nó hoạt động, ít nhất nó sẽ cho thấy rằng có những lỗ lẻ ngắn, dường như là điều kiện tiên quyết cần thiết để tìm ra chúng nhanh chóng.

Trên thực tế, điều đó sẽ không làm tôi ngạc nhiên nếu sau đây là thuật toán poly (log (q)): nếu q nhỏ hơn một hằng số cố định, hãy tìm câu trả lời, nếu không thì tham lam xây dựng một lỗ 5 lỗ lẻ bằng cách tìm kiếm liên tục qua các con số 0, 1, 2, 3, ... cho các đỉnh có thể được thêm vào như một phần của lỗ 5 phần. Nhưng có lẽ việc chứng minh rằng nó hoạt động trong thời gian poly (log (q)) sẽ yêu cầu một số lý thuyết số sâu.

Theo kết quả của Chung, Graham và Wilson, "Đồ thị bán ngẫu nhiên", Combinatorica 1989, thuật toán ngẫu nhiên sau đây giải quyết vấn đề trong một số lượng thử nghiệm dự kiến ​​không đổi khi q là số nguyên tố: nếu q đủ nhỏ thì hãy tìm câu trả lời, Mặt khác liên tục chọn một bộ năm đỉnh ngẫu nhiên, kiểm tra xem chúng có tạo thành một lỗ lẻ hay không và nếu có thì trả lại nó. Nhưng họ không nói liệu nó có hoạt động hay không khi q không phải là một nguyên tố chính mà là một quyền lực chính, vì vậy có lẽ bạn cần phải cẩn thận hơn trong trường hợp đó.