Vấn đề NP-hard trên đồ thị giãn nở?

Trong một bài thuyết trình năm 2006 có tiêu đề EXPANDER GRAPHS - CÓ BẤT K MY MYSTERIES nào không? , Nati Linial đặt ra vấn đề mở sau đây:

Vấn đề tính toán -hard nào trên biểu đồ vẫn còn khó khăn khi bị hạn chế đối với biểu đồ mở rộng? $NP$

Kể từ đó, đã có tiến triển nào được thực hiện để chứng minh kết quả như vậy cho một vấn đề -hard chưa? $NP$

cc.complexity-theory np-hardness expanders

— Mohammad Al-Turkistany
nguồn

Ai đó có lẽ có thể giải thích tại sao câu hỏi này là thú vị? Chúng ta có bất kỳ ví dụ nào về các vấn đề NP-hard trở nên dễ dàng khi bị hạn chế đối với biểu đồ mở rộng không?

— Jukka Suomela

@Jukka: tăng thể có thể được

-regular cho nhỏ

(ví dụ

), tuy nhiên một số vấn đề NP-hard là dễ dàng trên lớp của max độ

đồ thị cho nhỏ

(ví dụ tô màu đồ thị cho

d

$d$

d

$d$

d = 3

$d=3$

d

$d$

d

$d$

d < 4

$d<4$

— András Salamon

@ András: Chắc chắn, nhưng điều đó không thực sự liên quan đến các thuộc tính mở rộng. Hãy để tôi nói lại: chúng ta có ví dụ về vấn đề mà khó trên

đồ thị -regular nhưng dễ dàng trên

đồ thị nở -regular?

d

$d$

d

$d$

— Jukka Suomela

@Jukka: Các trò chơi độc đáo đã được chứng minh là có thuật toán xấp xỉ thời gian đa thức khi biểu đồ ràng buộc là một mở rộng [Arora-Khot-Kolla-Steurer-Tulsiani-Vishnoi STOC '08]. Đây không phải là trường hợp của đồ thị tổng quát và nếu UGC là đúng, trên thực tế không có thuật toán thời gian đa thức. Tôi lấy điều này làm động lực cho câu hỏi của Turkistany.

— arnab

@Jukka, động lực của tôi là tìm hiểu mối quan hệ giữa các tính chất ngẫu nhiên của các bộ mở rộng và độ cứng tính toán của các vấn đề. Chẳng hạn, tôi không hy vọng thiết lập độc lập sẽ dễ dàng trên các bộ mở rộng.

— Mohammad Al-Turkistany

Câu trả lời:

Nếu "tăng thể không cân bằng" được tính là tăng thể với mục đích của câu hỏi này (một nở không cân bằng: a song phương graph , như vậy mà cho tất cả các tập con , , phần của cạnh giữa và là về $G=(A,B,E)$ $A'\subseteq A$ $B'\subseteq B$ $A'$ $B'$ ${|A'||B'|}/{|A||B|}$ ), sau đó, có, nhiều vấn đề trên các bộ mở rộng (ví dụ: các vấn đề thỏa mãn ràng buộc) là NP-hard gần đúng.

Cụ thể, bằng chứng về hai truy vấn, lỗi thấp, Định lý PCP [với Ran Raz năm 2008] xây dựng các biểu đồ mở rộng.

— Dana Moshkovitz
nguồn

Trong dòng cuối cùng của bạn, bạn có nghĩa là giấy của bạn xây dựng tăng thể không cân bằng, bởi vì sau đó bạn có thể có một câu trả lời cho câu hỏi này: cstheory.stackexchange.com/questions/592/...

— Suresh Venkat

Suresh: có, giấy xây dựng các bộ mở rộng / lấy mẫu / trích xuất không cân bằng, nhưng không tốt hơn các công trình đã biết như vậy.

— Dana Moshkovitz

Tôi đoán có thể dễ dàng chỉ ra rằng nhiều vấn đề chính xác (và có lẽ cả các vấn đề gần đúng mạnh mẽ) là NP-hard trên các bộ mở rộng. Ý tưởng là nếu bạn có một đồ thị độ liên tục tùy ý trên đỉnh, và thêm một nở trên đỉnh rời nhau, và đặt một kết hợp giữa và , sau đó bạn nhận được một nở. Lý do là bất kỳ tập hợp nào có ít hơn một nửa các đỉnh, sẽ có một phần không đổi của các cạnh phù hợp bên ngoài nó, hoặc giao điểm của nó với sẽ có nhiều nhất là phần của các đỉnh $G$ $n$ $H$ $n$ $G$ $H$ $H$ $0.51$ $H$

Vì bạn có thể chọn tùy ý (giả sử lấy biểu đồ ngẫu nhiên), bạn có thể biết giải pháp tối ưu cho vấn đề NP của mình trong và do đó có thể có hy vọng (tùy thuộc vào sự cố), nên đã đưa ra giải pháp cho biểu đồ kết hợp bạn có thể nhận được ít nhất một giải pháp gần đúng cho . Nhưng tôi đã không xác minh điều này cho bất kỳ vấn đề cụ thể. $H$ $H$ $G$

Tất nhiên, như đã đề cập ở trên, có những vấn đề tự nhiên (đáng chú ý nhất là các trò chơi độc đáo) trong đó người ta không thể thực hiện các thủ thuật như vậy và trong các thuật toán cụ thể được biết đến cho các bộ mở rộng và không được biết đến trong trường hợp chung. Người ta cũng có thể đưa ra một số ví dụ giả định về một vấn đề mà NP khó nói chung nhưng dễ mở rộng (ví dụ, đưa một số vấn đề khó NP tùy ý trên biểu đồ và sửa đổi nó để tất cả các trường hợp có khoảng cách quang phổ lớn hơn là CÓ ...). $1/\log n$

— Boaz Barak
nguồn