Có bao nhiêu điểm cắt cạnh khác nhau mà DAG phải có?

Các câu dưới đây có liên quan đến tối ưu của Bellman-Ford $s$ - ngắn nhất thuật toán lập trình con đường năng động (xem bài này cho một kết nối). Ngoài ra, một câu trả lời tích cực sẽ ngụ ý rằng kích thước tối thiểu của chương trình phân nhánh không đơn điệu cho vấn đề STCONN là . $t$$\Theta(n^3)$

Đặt là một DAG (đồ thị chu kỳ có hướng) với một nút nguồn và một nút đích . Một - cut là một tập hợp các cạnh, việc loại bỏ sẽ phá hủy tất cả đường dẫn - có độ dài ; chúng ta giả định rằng có những con đường như vậy trong . Lưu ý rằng đường dẫn - ngắn hơn cần phải bị phá hủy.$G$$s$$t$$k$$s$$t$$\geq k$$G$$s$$t$

Câu hỏi: Liệu phải có ít nhất (khoảng) rời nhau -cuts? $G$$k$ $k$

Nếu không có đường dẫn - ngắn hơn , câu trả lời là CÓ, bởi vì chúng ta có một thực tế tối thiểu được biết đến sau đây (một định lý kép của Mạnh) được quy cho Robacker . Một - cắt là một k -cut cho k = 1 (phá hủy tất cả các s - t đường dẫn).$s$$t$ k ^* s$k$^$\ast$$s$$t$$k$$k=1$ $s$$t$

Sự thật: Trong bất kỳ đồ thị có hướng nào, số lần cắt cạnh - tối đa của các lần cắt $s$ - $t$ bằng với độ dài tối thiểu của đường dẫn $s$ - $t$ .

Lưu ý rằng điều này giữ ngay cả khi đồ thị không phải là chu kỳ.

Chứng minh: trivially, mức tối thiểu ít nhất là tối đa, vì mỗi s - t con đường giao cắt mỗi s - t cắt giảm một cạnh. Để xem đẳng thức, hãy d ( u ) là độ dài của một con đường ngắn nhất từ s đến u . Đặt U r = { u : d ( u ) = r } , cho r = 1 , Hoài , d ( t ) và để E $s$$t$$s$$t$$d(u)$$s$$u$$U_r=\{u\colon d(u)=r\}$$r = 1,\ldots, d(t)$$E_r$là tập hợp các cạnh rời U r . Rõ ràng là các bộ E r khác nhau, vì các bộ U r là như vậy. Vì vậy, vẫn còn cho thấy rằng mỗi E r là một s - t cắt. Để hiển thị điều này, hãy chọn một đường dẫn s - t tùy ý p = ( u 1 , u 2 , BR , u m ) với u 1 = s và u m = t . Kể từ $U_r$$E_r$$U_r$$E_r$$s$$t$$s$$t$$p=(u_1, u_2, \ldots,u_m)$$u_1=s$$u_m=t$ ( u i + 1 ) ≤ d ( u i ) + 1 , chuỗi các khoảng cách d ( u 1 ) , Cẩu , d ( $d(u_{i+1})\leq d(u_i)+1$ m ) phải đạt được giá trị d ( u m ) = d ( t ) bằng cách bắt đầu tại d ( u 1 ) = d ( s ) = 0 và tăng giá trị lên tối đa$d(u_1),\ldots,d(u_m)$$d(u_m)=d(t)$$d(u_1)=d(s)=0$$1$trong từng bước Nếu một số giá trị d ( u i ) bị giảm, thì chúng ta phải đạt giá trị d ( u i ) sau. Vì vậy, phải có một j trong đó một bước nhảy từ d ( u j ) = r đến d ( u j + 1 ) = r + 1 xảy ra, nghĩa là cạnh ( u j , u j + 1 ) thuộc về E r , như mong muốn. QED $d(u_i)$$d(u_i)$$j$$d(u_j)=r$$d(u_{j+1})=r+1$$(u_j,u_{j+1})$$E_r$

Nhưng nếu có những con đường ngắn hơn ( k ) thì sao? Bất kỳ gợi ý / tài liệu tham khảo? $k$

---

* JT Robacker, Min-Max Theorems trên Chuỗi ngắn nhất và Cuts rời nhau của một mạng, nghiên cứu Bản ghi nhớ RM-1660, Tổng công ty RAND, Santa Monica, California, [12 Jan- uary] năm 1956. $^{\ast}$

---

EDIT (một ngày sau): Qua một cuộc tranh luận ngắn và rất hay, David Eppstein đã trả lời câu hỏi ban đầu ở trên một cách tiêu cực : DAG T n (một giải đấu bắc cầu ) hoàn toàn không thể có nhiều hơn bốn lần cắt k ! Trong thực tế, ông đã chứng minh sự thú vị sau đây về cấu trúc thực tế, cho k về √$T_n$$k$$k$n . Một vết cắt làthuần túynếu nó không có sự cố cạnh vớishoặct.$\sqrt{n}$$s$$t$

Mỗi k -cut thuần trong T n chứa một đường dẫn có độ dài k . $k$$T_n$$k$

Điều này, đặc biệt, ngụ ý rằng cứ hai chữ k thuần túy phải giao nhau! Nhưng có lẽ vẫn còn nhiều kiểu chữ k thuần túy không trùng lặp "quá nhiều". Do đó, một câu hỏi thoải mái (hậu quả cho STCONN sẽ giống nhau ):$k$$k$

Câu hỏi 2: Nếu mỗi tinh khiết k -cut có ≥ M cạnh, không thì đồ thị phải có khoảng Ω ( k ⋅ M ) cạnh? $k$$\geq M$$\Omega(k\cdot M)$

Mối liên hệ với sự phức tạp của STCONN xuất phát từ kết quả của Erdős và Gallai mà người ta phải loại bỏ tất cả trừ ( k - 1 ) m / 2 cạnh khỏi (không xác định) K m để phá hủy tất cả các đường có độ dài k . $(k-1)m/2$$K_m$$k$

---

EDIT 2: Bây giờ tôi đã hỏi Câu hỏi 2 tại mathoverflow .

Câu trả lời ngắn gọn: không.

Hãy để G là một DAG đầy đủ (transitive giải đấu) trên n đỉnh với s và t nguồn và chìm của nó, và để cho k = $G$$n$$s$$t$n / 3 . Quan sát rằng có thể có nhiều nhất bốn lần cắt rời nhau có chứa nhiềusự cố cạnhn/3cạnh đếnshoặc nhiều hơnn/3sự cố cạnh chot. Vì vậy, nếu có nhiều vết cắt rời nhau, chúng ta có thể giả sử rằng tồn tại một vết cắtCkhông chứa số lượng lớn các sự cố cạnh$k=\sqrt{n/3}$$n/3$$s$$n/3$$t$$C$ s và t .$s$$t$

Bây giờ hãy X là đồ thị con hoàn toàn cảm ứng trong G bằng cách thiết lập các đỉnh x đến nỗi cạnh của x và x t không thuộc về C . Số lượng đỉnh trong X ít nhất là n / 3 , vì nếu không C sẽ chạm quá nhiều sự cố cạnh vào s hoặc t . Tuy nhiên, X ∖ C không thể chứa một k -path, bởi vì nếu một con đường như vậy tồn tại nó có thể được nối với s ∖ C . Do đó, lớp phân lớp dài nhất của$X$$G$$x$$sx$$xt$$C$$X$$n/3$$C$$s$$t$$X\setminus C$$k$$s$ và t để tạo thành một đường dài trong $t$$G\setminus C$ X ∖ C có ít hơn k lớp và có một lớp chứa nhiều hơn ( n / 3 ) / k = k đỉnh. Vì đây là một lớp của lớp phân lớp đường dẫn dài nhất, nó độc lập trong X ∖ C , và do đó hoàn thành trong C , do đó C chứa một đường dẫn P qua các đỉnh của lớp này, có độ dài k . Con đường này phải tách rời khỏi tất cả các vết cắt khác.$X\setminus C$$k$$(n/3)/k=k$$X\setminus C$$C$$C$$P$$k$

Mỗi vết cắt không phải C phải chứa cạnh từ s đến đầu đường dẫn P hoặc cạnh từ cuối đường dẫn P đến t , nếu không, nó sẽ không chặn đường dẫn s - P - t . Vì vậy, nếu C tồn tại, có thể có nhiều nhất ba lần cắt rời nhau. Và nếu C không tồn tại (nghĩa là, nếu tất cả các vết cắt bao gồm hơn n / 3 cạnh xảy ra với s hoặc đến t ) thì có thể có nhiều nhất bốn lần cắt rời nhau. Dù bằng cách nào, điều này ít hơn rất nhiều so với k cắt.$C$$s$$P$$P$$t$$s$$P$$t$$C$$C$$n/3$$s$$t$$k$