Các câu dưới đây có liên quan đến tối ưu của Bellman-Ford s
Đặt là một DAG (đồ thị chu kỳ có hướng) với một nút nguồn và một nút đích . Một - cut là một tập hợp các cạnh, việc loại bỏ sẽ phá hủy tất cả đường dẫn - có độ dài ; chúng ta giả định rằng có những con đường như vậy trong . Lưu ý rằng đường dẫn - ngắn hơn cần phải bị phá hủy.G
Câu hỏi: Liệu phải có ít nhất (khoảng) rời nhau -cuts? GG kk kk
Nếu không có đường dẫn - ngắn hơn , câu trả lời là CÓ, bởi vì chúng ta có một thực tế tối thiểu được biết đến sau đây (một định lý kép
của Mạnh) được quy cho Robacker . Một - cắt là một k -cut cho k = 1 (phá hủy tất cả các s - t đường dẫn).s
Sự thật: Trong bất kỳ đồ thị có hướng nào, số lần cắt cạnh - tối đa của các lần cắt ss - tt bằng với độ dài tối thiểu của đường dẫn ss - tt .
Lưu ý rằng điều này giữ ngay cả khi đồ thị không phải là chu kỳ.
Chứng minh:
trivially, mức tối thiểu ít nhất là tối đa, vì mỗi s - t
con đường giao cắt mỗi s - t cắt giảm một cạnh. Để xem đẳng thức, hãy d ( u ) là độ dài của một con đường ngắn nhất từ s đến u . Đặt U r = { u : d ( u ) = r } , cho r = 1 , Hoài , d ( t ) và để E r
Nhưng nếu có những con đường ngắn hơn ( k ) thì sao? Bất kỳ gợi ý / tài liệu tham khảo?
* JT Robacker, Min-Max Theorems trên Chuỗi ngắn nhất và Cuts rời nhau của một mạng, nghiên cứu Bản ghi nhớ RM-1660, Tổng công ty RAND, Santa Monica, California, [12 Jan- uary] năm 1956.
EDIT (một ngày sau): Qua một cuộc tranh luận ngắn và rất hay, David Eppstein đã trả lời câu hỏi ban đầu ở trên một cách tiêu cực : DAG T n (một giải đấu bắc cầu ) hoàn toàn không thể có nhiều hơn bốn lần cắt k ! Trong thực tế, ông đã chứng minh sự thú vị sau đây về cấu trúc thực tế, cho k về √
Mỗi k -cut thuần trong T n chứa một đường dẫn có độ dài k .k Tn k
Điều này, đặc biệt, ngụ ý rằng cứ hai chữ k thuần túy phải giao nhau! Nhưng có lẽ vẫn còn nhiều kiểu chữ k thuần túy không trùng lặp "quá nhiều". Do đó, một câu hỏi thoải mái (hậu quả cho STCONN sẽ giống nhau ):
Câu hỏi 2: Nếu mỗi tinh khiết k -cut có ≥ M cạnh, không thì đồ thị phải có khoảng Ω ( k ⋅ M ) cạnh?k ≥M Ω(k⋅M)
Mối liên hệ với sự phức tạp của STCONN xuất phát từ kết quả của Erdős và Gallai mà người ta phải loại bỏ tất cả trừ ( k - 1 ) m / 2 cạnh khỏi (không xác định) K m để phá hủy tất cả các đường có độ dài k .
EDIT 2: Bây giờ tôi đã hỏi Câu hỏi 2 tại mathoverflow .