Độ cứng của máy tách Vertex

11

Đối với một biểu đồ , Bài toán phân tách hỏi liệu một tập hợp đỉnh hoặc cạnh nhỏ của cardinality (hoặc trọng lượng) tồn tại có phân vùng loại bỏ thành hai biểu đồ tách rời có kích thước xấp xỉ bằng nhau. Đây được gọi là Sự cố phân tách Vertex khi bộ bị loại bỏ là một bộ đỉnh và Vấn đề phân tách cạnh khi nó là một bộ cạnh. Cả hai vấn đề đều là NP-hoàn chỉnh cho các đồ thị không có trọng số chung. Độ cứng được biết đến tốt nhất của phân tách đỉnh xấp xỉ là gì? Là một PTAS loại trừ? Các kết quả độ cứng được biết đến tốt nhất trong các thiết lập chỉ đạo là gì? $G$ $G$

Sửa chữa : Các liên kết và câu trả lời sau đây không giúp tôi vì tôi không nêu chính xác câu hỏi của mình. Câu hỏi của tôi liên quan đến định lý sau của Leighton-Rao:

Định lý : Có tồn tại một thuật toán thời gian đa thức rằng, cho một đồ thị và một bộ , tìm thấy một đỉnh tách của trong kích thước , nơi là kích thước tối thiểu của một -vertex tách của trong . $G(V,E)$ $W \subseteq V$ $\frac{2}{3}$ $S \subseteq V$ $W$ $G$ $O(w.{\log}n)$ $w$ $\frac{1}{2}$ $W$ $G$

Cho một đồ thị và một bộ , tôi muốn tìm một dấu tách -vertex (trong đó là một hằng số) , nơi là kích thước tối thiểu của một -vertex tách của trong . Độ cứng được biết đến nhiều nhất của vấn đề này là gì? Định lý trên đưa ra một xấp xỉ cho bài toán này. $G(V,E)$ $W \subseteq V$ $\delta$ $\frac{1}{2} \leq \delta \leq 1$ $w$ $w$ $\frac{1}{2}$ $W$ $G$ $O({\log}n)$

Lưu ý rằng tôi đang cho phép tăng yếu tố không đổi theo kích thước của các thành phần kết quả sau khi tháo dải phân cách, nhưng tôi muốn giảm thiểu kích thước của dải phân cách. Các liên kết được đề cập trong các nhận xét trỏ đến dấu tách b-đỉnh tối thiểu , trong đó chúng tôi nhấn mạnh rằng kích thước của các thành phần kết quả tối đa là . $|V|/2$

cc.complexity-theory approximation-hardness

— Shiva Kintali
nguồn

1

Tôi nhận ra rằng những bình luận trước đây của tôi là khắc nghiệt không cần thiết. Tôi loại bỏ chúng. Tôi chỉ để lại các liên kết trong các nhận xét đó: phiên bản đỉnh và phiên bản cạnh trong Phần bổ sung các vấn đề tối ưu hóa NP.

— Tsuyoshi Ito

Tôi cũng quan tâm đến câu hỏi này, bạn có tìm thấy gì từ đó không?

— Yar Tư Bulatov

@ Nam Tư: Không may là tôi không thể tìm thấy bất kỳ kết quả độ cứng nào cho vấn đề cụ thể này.

— Shiva Kintali

9

Trong cài đặt cạnh, vấn đề bạn đang đề cập đến là vấn đề chia đôi và kích thước của cạnh tối thiểu như vậy được gọi là chiều rộng chia đôi. Có rất nhiều nghiên cứu về vấn đề này và gần đúng nhất cho vấn đề này là của Racke . $O(\log n)$

Một bài đánh giá tốt về công việc đã biết về vấn đề này (liên quan đến việc cắt giảm ít nhất, số liệu lan truyền và thậm chí là phỏng đoán trò chơi độc đáo) trong bài viết gần đây về khái quát về chiều rộng chia đôi của Krauthgamer, Naor và Schwartz.

— Suresh Venkat
nguồn

5

$O(\sqrt{\log n})$ $O(\log n)$ của Leighton và Rao; họ đã làm điều này cho trường hợp cạnh. Agrawal-Charikar-Makarychev-Makarychev đã sử dụng kết quả này để đạt được ràng buộc tương tự đối với vết cắt thưa nhất định hướng (nếu ai đó quan tâm đến việc cắt hai cực đỉnh). Feige-Hajiaghayi-Lee đồng thời thu được một ràng buộc tương tự một lần nữa thông qua ARV cho các phân tách đỉnh (và cũng chỉ ra rằng treewidth có thể được xấp xỉ trong cùng một yếu tố). Mọi người nên lưu ý rằng có một khái niệm khác về việc cắt thưa nhất trong các đồ thị có hướng mà Chuzhoy-Khanna cho thấy kết quả độ cứng trong trường hợp không đồng nhất nhưng tôi không chắc về trường hợp đồng nhất. Tôi nghĩ rằng kết quả độ cứng siêu không đổi được biết đến với mức cắt thưa nhất (thống nhất) theo UGC nhưng tôi không chắc chắn.

— Chandra Chekuri
nguồn