Định lý của Giáo hội và Định lý bất toàn của Gôdel

Gần đây tôi đã đọc về một số ý tưởng và lịch sử của công trình đột phá được thực hiện bởi các nhà logic học và toán học khác nhau về khả năng tính toán. Trong khi các khái niệm riêng lẻ khá rõ ràng đối với tôi, tôi đang cố gắng nắm bắt chắc chắn về mối quan hệ tương tác và mức độ trừu tượng mà tất cả chúng đều được liên kết.

Chúng ta biết rằng định lý của Giáo hội (hay đúng hơn là các bằng chứng độc lập về Entscheidungspro Hiệu của Hilbert Church và Alan Turing) đã chứng minh rằng nói chung, chúng ta không thể tính toán được một tuyên bố toán học nhất định trong một hệ thống chính thức là đúng hay sai. Theo tôi hiểu, luận án Church-Turing cung cấp một mô tả khá rõ ràng về sự tương đương (đẳng cấu) giữa máy tính lambda của Church và máy Turing, do đó chúng tôi thực sự có một mô hình thống nhất về tính toán. (Lưu ý: Theo như tôi biết, bằng chứng của Turing sử dụng thực tế là vấn đề tạm dừng là không thể giải quyết được. Hãy sửa tôi nếu tôi sai.)

Bây giờ, định lý không hoàn chỉnh đầu tiên của Gôdel nói rằng không phải tất cả các câu lệnh trong một hệ thống chính thức nhất quán có đủ sức mạnh số học có thể được chứng minh hoặc không được chứng minh (quyết định) trong hệ thống này. Theo nhiều cách, điều này đối với tôi dường như đang nói chính xác điều tương tự với tôi như các định lý của Giáo hội, coi phép tính lambda và máy tiện là cả hai hệ thống chính thức hiệu quả!

Tuy nhiên, đây là cách giải thích toàn diện của tôi và tôi đã hy vọng ai đó có thể làm sáng tỏ các chi tiết. Là hai định lý có hiệu quả tương đương? Có bất kỳ sự tinh tế để được quan sát? Nếu những lý thuyết này về cơ bản là nhìn vào cùng một sự thật phổ quát theo những cách khác nhau, tại sao chúng lại được tiếp cận từ những góc độ khác nhau như vậy? (Có ít nhất 6 năm giữa bằng chứng của Godel và Church). Cuối cùng, chúng ta có thể nói rằng khái niệm về khả năng chứng minh trong một hệ thống chính thức (tính toán bằng chứng) giống hệt với khái niệm tính toán trong lý thuyết đệ quy (máy Turing / lambda tính toán) không?

Đầu tiên, tôi khuyên bạn nên đọc "Siêu dữ liệu" của Kleene như một cuốn sách hay về các chủ đề này. Hai chương đầu của tập I của "Lý thuyết đệ quy cổ điển" của Odifreddi cũng có thể hữu ích trong việc tìm hiểu mối quan hệ giữa các khái niệm này.

Chúng ta biết rằng định lý của Giáo hội (hay đúng hơn là các bằng chứng độc lập về Entscheidungspro Hiệu của Hilbert Church và Alan Turing) đã chứng minh rằng nói chung, chúng ta không thể tính toán được một tuyên bố toán học nhất định trong một hệ thống chính thức là đúng hay sai.

Tôi nghĩ rằng bạn đang đề cập đến định lý của Giáo hội rằng tập hợp các định lý của logic thứ tự đầu tiên là không thể quyết định. Điều quan trọng cần lưu ý là ngôn ngữ là thứ tự đầu tiên.

Theo tôi hiểu, luận án Church-Turing cung cấp một mô tả khá rõ ràng về sự tương đương (đẳng cấu) giữa máy tính lambda của Church và máy Turing, do đó chúng tôi thực sự có một mô hình thống nhất về tính toán.

Không. Sự tương đương nếu tính toán lambda và khả năng tính toán Turing là một định lý của Kleene. Nó không phải là một luận án. Nó được coi là bằng chứng ủng hộ luận điểm của Giáo hội.

Lưu ý: Theo như tôi biết, bằng chứng của Turing sử dụng thực tế là vấn đề tạm dừng là không thể giải quyết được. Sửa lỗi cho tôi nếu tôi sai.

Bây giờ, định lý không hoàn chỉnh đầu tiên của Gôdel nói rằng không phải tất cả các tuyên bố trong một hệ thống chính thức nhất quán có thể được chứng minh trong hệ thống này. Theo nhiều cách, điều này đối với tôi dường như đang nói chính xác điều tương tự với tôi như các định lý của Giáo hội, coi phép tính lambda và máy tiện là cả hai hệ thống chính thức hiệu quả!

Bang lý số Gödel rằng cho mỗi -consistent , đệ quy đếm được lý thuyết mà chứa đủ số học , có một câu st và không chứng minh trong đó.φ φ ¬ $\omega$$\varphi$$\varphi$$\lnot \varphi$

Điều này không nêu điều tương tự. Nó không nói bất cứ điều gì về tập hợp các định lý của lý thuyết là không thể giải quyết được.

Tuy nhiên, đây là cách giải thích toàn diện của tôi và tôi đã hy vọng ai đó có thể làm sáng tỏ các chi tiết. Là hai định lý có hiệu quả tương đương? Có bất kỳ sự tinh tế để được quan sát? Nếu những lý thuyết này về cơ bản là nhìn vào cùng một sự thật phổ quát theo những cách khác nhau, tại sao chúng lại được tiếp cận từ những góc độ khác nhau như vậy? (Có ít nhất 6 năm giữa bằng chứng của Godel và Church).

Trong những năm qua, đã có rất nhiều sự lạm dụng các định lý của Godel (và các định lý tương tự). Người ta phải rất cẩn thận trong việc giải thích chúng. Theo như tôi đã thấy, các hành vi lạm dụng thường là kết quả của việc quên đề cập đến một số điều kiện trong định lý hoặc kết hợp các định lý bởi một số niềm tin khác. Một cái nhìn cẩn thận cho thấy các định lý luận án, mặc dù có liên quan, không tương đương.

Cuối cùng, chúng ta có thể nói rằng khái niệm về khả năng chứng minh trong một hệ thống chính thức (tính toán bằng chứng) giống hệt với khái niệm tính toán trong lý thuyết đệ quy (máy Turing / lambda tính toán) không?

Tôi không hiểu ý của bạn là "giống hệt". Chắc chắn có nhiều mối quan hệ giữa khả năng tính toán và khả năng chứng minh. Tôi có thể đưa ra một nhận xét hữu ích hơn nếu bạn làm rõ ý của bạn bằng cách chúng giống hệt nhau.

cập nhật

Hãy xem xét các thiết lập của câu cũng như hình thành trong ngôn ngữ của số học như . Đặt là (các tiên đề của) một lý thuyết thỏa mãn các điều kiện của định lý bất toàn đầu tiên. Hãy là tập hợp các định lý của lý thuyết và là tập hợp các câu mà phủ định là một định lý của . Đặt là tập hợp các câu đúng trong mô hình chuẩn và tập hợp các câu sai. Một câu trong iff phủ định của nó là . Ngoài ra mỗi câu đều đúng hoặc sai, tức là .T T h m ( T ) T ¬ T h m ( T ) T T r u e F a l s e T r u e F a l s e L = T r u e ∪ F a l s $L$$T$$Thm(T)$$T$$\lnot Thm(T)$$T$$True$$False$$True$$False$$L = True \cup False$

Bang lý bất toàn của Gödel rằng là một tập hợp con thích hợp của . Do đó, sự thật trong mô hình chuẩn và khả năng chứng minh trong là khác nhau.L $Thm(T) \cup \lnot Thm(T)$$L$$T$

Lưu ý rằng là re, định lý của Church nói rằng không thể quyết định được.T h m ( T $Thm(T)$$Thm(T)$

Về mối quan hệ giữa khả năng chứng minh trong hệ thống chính thức và khả năng tính toán. Một là như sau: Nếu hệ thống có hiệu lực, thì tập hợp các biểu thức có thể lấy được trong đó là re và hệ thống là một trường hợp đặc biệt của một ngữ pháp. Grammars là một cách khác để xác định khái niệm tính toán tương đương với khả năng tính toán của máy Turing.

chúng ta có thể nói rằng khái niệm về khả năng chứng minh trong một hệ thống chính thức (tính toán bằng chứng) giống hệt với khái niệm tính toán trong lý thuyết đệ quy (máy Turing / lambda tính toán) không?

Đây là rất giống nhau nhưng không giống nhau, bởi vì một số bước trong tính toán bằng chứng có thể đại diện cho các hoạt động không tính toán được.

$ZFC$$\wp(N)$

Tương tự, Định lý hoàn chỉnh của Gôdel cho chúng ta biết rằng bất kỳ công thức hợp lệ nào trong logic thứ tự đầu tiên đều có bằng chứng, nhưng Định lý của Trakhtenbrot cho chúng ta biết rằng, trên các mô hình hữu hạn, tính hợp lệ của các công thức bậc nhất là không thể kiểm chứng được.

Vì vậy, bằng chứng hữu hạn không nhất thiết phải tương ứng với các hoạt động tính toán.

Mặc dù đây không hoàn toàn là những gì bạn đang hỏi, nhưng nó nằm trong cùng một hướng và hy vọng bạn (và những người đọc câu hỏi khác của bạn) sẽ tìm thấy nó thú vị. Bạn chắc chắn nên đọc về sự tương ứng của Curry-Howard , trong đó nói rằng phạm trù các chương trình, theo một nghĩa cụ thể, là sự đồng hình với thể loại bằng chứng xây dựng . (Đây là thảo luận về bằng chứng và khả năng tính toán ở một mức độ khác so với các câu trả lời khác.)

Tóm lại, tôi sẽ cố gắng trả lời câu hỏi của bạn theo quan điểm bạn đưa ra; Tôi cũng đang cố gắng liên kết hai định lý theo một cách khác.

Định lý bất toàn đầu tiên của Gôdel nói rằng trong một hệ thống chính thức nhất quán có đủ sức mạnh số học, có một tuyên bố P sao cho không có bằng chứng nào về nó hoặc sự phủ định của nó tồn tại. Điều này không ngụ ý rằng không có thuật toán quyết định cho tập hợp các định lý của lý thuyết, điều này cũng sẽ nói rằng P cũng không phải P cũng không phải là các định lý. Kết quả định lý của Church-Turing nói rằng thuật toán như vậy không tồn tại. Đó cũng là cốt lõi của câu trả lời của Kaveh, tôi hy vọng sẽ giải thích nó rõ ràng hơn.

Bây giờ tôi sẽ cố gắng chứng minh rằng định lý của Church-Turing ngụ ý định lý của Godel, xin vui lòng giải thích cho tôi biết tôi đang ở đâu và nếu tôi sai. Tập hợp các định lý Thm có thể quyết định được một phần và giả sử R là chương trình nhận ra nó (nghĩa là tạm dừng với "có" nếu đầu vào ở Thm, tiếp tục chạy khác). Chúng ta hãy sử dụng thuật toán này để xây dựng một thuật toán mới: Đưa ra một câu lệnh Q, để xem liệu nó có thể chứng minh được hay không, chạy R song song trên Q và không Q, bằng cách xen kẽ việc thực thi của chúng và dừng khi đầu tiên chúng dừng lại và tạo ra "Không" nếu "Không phải Q" đã được chứng minh và "Có" nếu không; điều này đưa ra một thuật toán tính toán. Giả sử bằng mâu thuẫn rằng tất cả các tuyên bố có thể được chứng minh hoặc từ chối, thuật toán này sẽ giải quyết vấn đề Entscheidungs, nhưng điều đó thật vô lý! Do đó, phải có một tuyên bố có thể '