Khái niệm đồng nhất mạnh mẽ hơn?

16

Một lỗ hổng mà tôi luôn nhận thức được rằng tôi không thực sự hiểu là giữa độ phức tạp tính toán không đồng nhất và đồng nhất trong đó độ phức tạp mạch đại diện cho phiên bản không đồng nhất và máy Turing là những thứ đồng nhất. Tôi cho rằng "thống nhất" là một cách để hạn chế lớp thuật toán, ví dụ: không cho phép một mạch hoàn toàn khác cho một vấn đề với n biến so với vấn đề n + 1 biến.

Câu hỏi của tôi là: 1) Nó có một mô tả về tính đồng nhất theo các mạch và 2) Có thể đi kèm với một dạng đồng nhất thậm chí còn mạnh hơn và do đó đưa ra khái niệm hạn chế hơn về thuật toán hiệu quả (hoặc bị hạn chế) trong Bóc vỏ?

Làm rõ muộn: ý định của tôi trong câu hỏi 2 là về một loại thuật toán bị hạn chế mà "thực tế" có sức mạnh tương đương với loại thuật toán đa thức.

cc.complexity-theory circuit-complexity

— Gil Kalai
nguồn

Bạn có thể giải thích ý nghĩa của "thực tế có cùng sức mạnh" không?

— MS Dousti

Ý tôi là tất cả các thuật toán trong P mà chúng ta gặp thực tế đều thuộc lớp bị hạn chế (giả thuyết) này. Vì vậy, tôi không có nghĩa là các lớp được biết (hoặc được phỏng đoán) bỏ qua thuật toán loại đa thức cụ thể như AC_0 hoặc NC ^ tôi không phải là những gì tôi đề cập đến.

— Gil Kalai

2

Đối với câu hỏi 2, lớp các hàm được tính toán bằng các mạch đồng nhất LOGSPACE có kích thước đa thức là P. (Và bạn vẫn sẽ nhận được P ngay cả với một số lớp phức tạp nhỏ hơn LOGSPACE nếu bạn xác định đúng tính đồng nhất.) Vì vậy, áp đặt các điều kiện đồng nhất chặt chẽ hơn không nói chung làm giảm sức mạnh của các thuật toán đa thức thời gian.

— Peter Shor

8

Tôi nghĩ rằng câu trả lời cho câu hỏi đầu tiên của bạn là tiêu cực: Một mạch có số lượng đầu vào cố định, và do đó, IMO, chúng ta chỉ có thể nói về "gia đình" của các mạch, thay vì chỉ một mạch thống nhất.

Về câu hỏi thứ hai của bạn, bạn có thể lưu ý rằng có "họ mạch đồng nhất", có mô tả được tạo bởi máy Turing. Nghĩa là, hãy để là một họ mạch đồng nhất và để là một máy Turing. Sau đó, với mỗi , , trong đó biểu thị mô tả của . $\{C_n\}$ $M$ $n$ $[C_n] = M(1^n)$ $[C_n]$ $C_n$

Có một số lớp phức tạp dưới P, được xác định bởi các họ mạch đồng nhất. Ví dụ:

$\mathbf{NC}^i$ là lớp các vấn đề quyết định có thể quyết định bởi các mạch boolean thống nhất với số cổng đa thức và độ sâu . $O(\log^i n)$

— MS Dousti
nguồn

7

Thêm vào câu trả lời của Sadeq ở trên, khi nhìn vào các lớp mạch có trong P, người ta cũng có thể muốn xem xét ngày càng nhiều khái niệm hạn chế về tính đồng nhất.

Khái niệm đơn giản và được biết đến nhiều nhất là tính đồng nhất P, đây là yêu cầu phải có Máy Turing M (xác định) tạo ra mạch trong thời gian poly (n) (Suresh cũng nói về điều này). Các phiên bản hạn chế hơn về tính đồng nhất cố gắng hạn chế sức mạnh của M hơn nữa. Ví dụ, cũng có tính đồng nhất của Logspace, trong đó M hiện bắt buộc phải chạy trong không gian O (log (n)). $C_n$

Khái niệm hạn chế nhất mà tôi biết là tính đồng nhất DLOGTIME, được sử dụng cho các lớp mạch nhỏ. Ở đây, máy M (bây giờ truy cập ngẫu nhiên) M chỉ có thời gian O (log n) và do đó không thể ghi lại mô tả của toàn bộ mạch. Điều kiện áp đặt là cho i và n, M có thể ghi lại bit thứ i của mô tả mạch trong thời gian O (log n).

Để biết thêm, xem bài báo sau: David A. Mix Barrington, Neil Immerman, Howard Straubing: Về tính đồng nhất trong NC¹. J. Tính toán. Hệ thống. Khoa học. 41 (3): 274-306 (1990).

— Srikanth
nguồn

1

Liên kết đến bài báo: dx.doi.org/10.1016/0022-0000(90)90022-D

— Suresh Venkat

Nếu M sẽ viết bit thứ i của mô tả mạch trong O (log n), điều đó không có nghĩa là nếu mạch có kích thước O (n) thì nó tương đương với việc cho phép máy tạo ra toàn bộ mạch trong O (n log n)?

— M. Alaggan

1

O (n)

$O(n)$

O (n \log n)

$O(n\log n)$

i

$i$

n

$n$

i

$i$

C_{n}

$C_n$

O (\log n)

$O(\log n)$

— Srikanth

i

$i$

n

$n$

i

$i$

O (1)

$O(1)$

O (n \log n)

$O(n \log n)$

Vấn đề không phải là các họ mạch đồng nhất X cung cấp cùng một nhóm họ cho các X khác nhau, mà là các chức năng có thể được tính bởi các họ mạch đồng nhất X là giống nhau cho các X khác nhau

— Peter Shor

6

$n$ $C_n$

— Suresh Venkat
nguồn

Một bộ tạo LOGSPACE cho mạch cũng sẽ hoạt động tốt để bắt P.

— Peter Shor

5

Nó có một mô tả về tính đồng nhất chỉ trong các mạch?

$1$ $f(|x|)$ $f$

$FO$ $DLogTime$ $AC^0$ $FO$

Dường như với tôi, điểm chính ở đây là chúng ta cần một số mô hình tính toán đồng nhất để xác định tính đồng nhất cho các mạch, nếu mô tả các mạch được đưa ra bằng các phương tiện không đồng nhất, các mạch có thể không đồng nhất.

— Kaveh
nguồn

1

O (1)

$O(1)$

A l t T i m e (O (1), O (\lg n))

$AltTime(O(1),O(\lg n))$

4

1) Có một mô tả về tính đồng nhất chỉ trong các mạch?

[Đây là phiên bản chỉnh sửa của câu trả lời của tôi cho cùng câu hỏi bạn đã hỏi trên blog của Dick Lipton. Hãy cẩn thận: Tôi không phải là một chuyên gia.]

Có (tôi nghĩ), của ít nhất hai loại khác nhau:

a) Các mạch được tạo ra bởi một máy Turing trong thời gian đa thức ở kích thước đầu vào của vấn đề (như đã đề cập trong một số câu trả lời khác). (Tôi nghĩ đây là định nghĩa chuẩn của khái niệm này.)

Điều này bao gồm bất kỳ họ mạch nào mà chúng ta có thể muốn gọi là thống nhất, nhưng theo định nghĩa của khái niệm P-time, nó chỉ làm giảm định nghĩa về họ mạch thành định nghĩa trên máy Turing, có thể không phải là điều bạn muốn.

b) Nếu có một máy tự động di động 1 chiều phát triển đầu vào vấn đề cho giải pháp vấn đề (đối với vấn đề quyết định, giải pháp sẽ là một bit trong một ô được chỉ định so với các ô chứa đầu vào, trạng thái ổn định của CA), trong thời gian đa thức ở kích thước đầu vào, thì điều này tương ứng với một mạch tuần hoàn ở dạng 2D theo cách đơn giản (một đơn vị lặp lại trên mỗi ô trên mỗi đơn vị thời gian) và trạng thái chỉ quan trọng ở một vùng tương đối lớn đến thời gian giải.

Đây là một loại mạch đồng nhất rất đặc biệt, nhưng đủ để giải quyết tất cả các vấn đề trong P, vì máy Turing có thể dễ dàng được mã hóa dưới dạng CA 1D. (Điều này cũng xuất hiện để đáp ứng định nghĩa về tính đồng nhất của DLOGTIME được đề cập trong bài trả lời trước đó.)

(Điều này tương tự như mã hóa của máy Turing như các mạch được đề cập trong câu trả lời của Gowers trên blog của Lipton - trên thực tế, một trong số chúng có thể giống hệt nhau.)

Một cách để mã hóa máy Turing dưới dạng CA 1D: trong mỗi ô, chúng tôi đại diện cho trạng thái băng tại một điểm, trạng thái mà đầu máy Turing sẽ có nếu nó ở đây (giá trị không thành vấn đề nếu không có ở đây) , và một chút nói rằng bây giờ đầu có ở đây không. Rõ ràng, mỗi trạng thái như vậy tại thời điểm t chỉ phụ thuộc vào trạng thái lân cận trực tiếp của nó tại thời điểm t-1, đó là tất cả những gì chúng ta cần để hoạt động như một CA.