Các thế giới có liên quan đến những người tạo ra bất khả xâm phạm

Máy phát điện bất khả xâm phạm được định nghĩa như sau:

Đặt là quan hệ NP và M là máy chấp nhận L ( R ) . Không chính thức, một chương trình là một máy phát điện bất khả xâm phạm nếu, trên đầu vào 1 n , nó tạo ra cặp dụ chứng kiến ( x , w ) ∈ R , với | x | = n , theo một phân phối mà theo đó bất kỳ đối thủ thời gian đa thức nào được đưa ra x đều không tìm được nhân chứng mà x ∈ S , với xác suất đáng chú ý, trong vô số độ dài n .$R$$M$$L(R)$$1^n$$(x, w) \in R$$|x| = n$$x$$x \in S$$n$

Máy phát điện bất khả xâm phạm, lần đầu tiên được xác định bởi Abadi et al. , tìm thấy nhiều ứng dụng trong mật mã.

Sự tồn tại của các máy phát bất khả xâm phạm dựa trên giả định rằng , tuy nhiên điều này có thể không đủ (xem thêm chủ đề liên quan ).$\mathbf{P} \neq \mathbf{NP}$

Định lý 3 của Abadi et al. giấy, được trích dẫn ở trên, cho thấy rằng bất kỳ bằng chứng nào về sự tồn tại của máy phát điện bất khả xâm phạm không tương đối hóa:

Định lý 3. Có một oracle mà P B ≠ N P B , và máy phát điện bất khả xâm phạm không tồn tại liên quan đến B.$B$$\mathbf{P}^B \neq \mathbf{NP}^B$

Tôi không hiểu một phần bằng chứng của định lý này. Hãy biểu thị rời nhau đoàn hoạt động. Đặt Q B F là ngôn ngữ hoàn chỉnh PSPACE của các công thức Boolean được định lượng thỏa đáng và đặt K là một tập hợp chuỗi cực kỳ thưa thớt với độ phức tạp Kolmogorov tối đa. Cụ thể, K chứa một chuỗi của mỗi chiều dài n i , nơi dãy n 1 , n 2 , ... được xác định bởi: n 1 = 2 , n i là triply mũ trong $\sqcup$$QBF$$K$$K$$n_i$$n_1, n_2, \ldots$$n_1 = 2$$n_i$ , vớii>1; nếux∈Kvà | x | =n, thìxcó độ phức tạp Kolmogorovn.$n_{i-1}$$i > 1$$x \in K$$|x| = n$$x$$n$

Các trạng thái giấy so với , nó cho rằng P ≠ N P . Bạn có thể giải thích? (Ngoài ra, vui lòng làm rõ liệu B có đệ quy không.)$B = QBF \sqcup K$$\mathbf{P} \neq \mathbf{NP}$$B$

Nếu họ chỉ đơn giản nói về độ phức tạp Kolmogorov (không giới hạn tài nguyên), thì sẽ không thể tính được (nếu không bạn có thể sử dụng máy tính K để đưa ra các mô tả ngắn về chuỗi x ∈ K , vì tất cả những gì bạn cần làm là mô tả máy và độ dài n của x , và chúng tôi có K ( x ) = n chưa K ( n ) ≤ log n ), do đó B sẽ uncomputable là tốt.$K$$K$$x \in K$$n$$x$$K(x) = n$$K(n) \leq \log n$$B$

Tuy nhiên, bài báo Abadi et al. tài liệu tham khảo ( Hartmanis. Độ phức tạp Kolmogorov tổng quát và cấu trúc của các tính toán khả thi. FOCS 1983. ) sử dụng độ phức tạp Kolmogorov giới hạn tài nguyên. Hãy để là một máy Turing phổ dụng hiệu quả. Xác định K U [ f ( n ) , g ( n ) ] là tập hợp các chuỗi x sao cho có một chuỗi d có độ dài | d | ≤ f ( | x | ) sao cho x = U $U$$K_U[f(n), g(n)]$$x$$d$$|d| \leq f(|x|)$ và việc tính toán U ( d ) mất nhiều nhấtthời gian g ( | x | ) . Ở đầu cột thứ hai trên p. 444 giấy đó, Hartmanis mô tả làm thế nào để sử dụng khái niệm này để xây dựng một (tính toán) oracle tương đối mà P ≠ N P .$x = U(d)$$U(d)$$g(|x|)$$P \neq NP$

Đây là ý tưởng của Hartmanis, được điều chỉnh theo Abadi et al. kết quả. Đặt và t o w 3 ( n + 1 ) = 2 2 2 n (mà tôi tin là hàm bạn đã mô tả). Bởi diagonalization tiêu chuẩn (ví dụ như trong định lý cấp bậc thời gian), xây dựng một tally bộ C mà C ⊆ { 1 t o w 3 ( n ) : n ≥ 1 } và$tow_3(1)=2$$tow_3(n+1)=2^{2^{2^{n}}}$$C$$C \subseteq \{1^{tow_3(n)} : n \geq 1\}$ . Bây giờ đặt chuỗi đầu tiên có độ dài t o w 3 ( n ) từ K [ log n , n log n ] - K [ log n , n log log n ] vào K khi và chỉ khi 1 t o w 3 ( n ) ∈ C . Từ$C \in TIME[n^{\log n}] - P$$tow_3(n)$$K[\log n, n^{\log n}] - K[\log n, n^{\log \log n}]$$K$$1^{tow_3(n)} \in C$ , chúng tôi có C ∈ N P K .$C = \{1^n : (\exists x)[|x|=n \text{ and } x \in K]\}$$C \in NP^{K}$

Chúng tôi cũng có , do đó P K ≠ N P K . Giả sử vì lợi ích của mâu thuẫn đó C ∈ P K . Sau đó, có một máy tiên tri đa thời gian M sao cho C = L ( M K ) . Tôi cho rằng điều này có nghĩa C ∈ P (không có oracle!), Trái ngược với xây dựng C . Đây là thuật toán đa thời gian: trên đầu vào x = 1 t o w 3 ( n $C \notin P^{K}$$P^K \neq NP^K$$C \in P^{K}$$M$$C = L(M^K)$$C \in P$$C$ :$x = 1^{tow_3(n_0)}$

1. Tính tất cả các chuỗi trong có độ dài nhỏ hơn | x | . Điều này có thể được thực hiện trong thời gian đa thức vì tất cả các chuỗi như vậy có độ dài tối đa log log log | x | và chúng ta chỉ cần kiểm tra tính toán của U ( d ) trên các chuỗi thậm chí nhỏ hơn d , trong khoảng thời gian vẫn còn rất nhỏ so với | x | .$K$$|x|$$\log \log \log |x|$$U(d)$$d$$|x|$

2. Chạy , mô phỏng các truy vấn tiên tri đến các chuỗi nhỏ hơn với kết quả của (1). Nếu M ( x ) từng truy vấn một chuỗi độ dài | x | , mô phỏng truy vấn đó với câu trả lời "KHÔNG".$M(x)$$M(x)$$|x|$

Bước lý do (2) làm việc đó, với độ dài đầu vào đủ lớn, nếu có một chuỗi có độ dài đó, M K không thể truy vấn y , vì vậy chúng ta có thể mô phỏng tất cả các truy vấn như vậy bằng câu trả lời KHÔNG. Nếu nó đã làm truy vấn y , sau đó chúng ta sẽ có y ∈ K [ log n , n k ] (trong đó n k giáp với thời gian chạy của M ), trái ngược với thực tế là chúng tôi đã chọn y là không trong K [ log n , n đăng $y \in K$$M^K$ $y$$y$$y \in K[\log n, n^k]$$n^k$$M$$y$ .$K[\log n, n^{\log \log n}]$