Sự phức tạp của bao thanh toán trong các lĩnh vực số

Những gì được biết về độ phức tạp tính toán của số nguyên bao thanh toán trong các trường số chung? Cụ thể hơn:

Qua các số nguyên, chúng tôi đại diện cho các số nguyên thông qua các mở rộng nhị phân của chúng. Các biểu diễn tương tự của số nguyên trong các trường số chung là gì?
Được biết rằng tính nguyên thủy trên các trường số là trong P hoặc BPP?
Các thuật toán nổi tiếng nhất để bao thanh toán trên các trường số là gì? (Làm $\exp \sqrt n$ và (rõ ràng) $\exp n^{1/3}$ thuật toán mở rộng từ $\mathbb{Z}$ ?) Ở đây, bao thanh toán liên quan đến việc tìm kiếm một số đại diện của một số (đại diện bởi $n$ bit) như là một sản phẩm của các số nguyên tố.
Độ phức tạp của việc tìm tất cả các yếu tố của một số nguyên trong trường số là gì? Đếm xem có bao nhiêu yếu tố khác biệt?
Trên $\mathbb{Z}$ người ta biết rằng việc quyết định nếu một số đã cho có một yếu tố trong một khoảng $[a,b]$ là NP-hard. Trong vòng số nguyên trong các trường số, có thể là trường hợp tìm kiếm nếu có một thừa số nguyên tố có chỉ tiêu trong một khoảng nhất định đã là NP-hard?
Là bao thanh toán trong các lĩnh vực số trong BQP?

Nhận xét, động lực và cập nhật.

Tất nhiên, thực tế là nhân tố hóa không phải là duy nhất trên các trường số là rất quan trọng ở đây. Câu hỏi (đặc biệt là phần 5) được thúc đẩy bởi bài đăng trên blog này qua GLL (xem nhận xét này ), và cũng bởi câu hỏi trước đây của TCflixchange. Tôi cũng đã trình bày nó trên blog của mình , nơi Lior Silverman trình bày một câu trả lời thấu đáo .

cc.complexity-theory nt.number-theory comp-number-theory

— Gil Kalai
nguồn

bạn có thể đưa ra một ví dụ không? bao thanh toán trong các trường defn khác với bao thanh toán số nguyên thẳng?

— vzn

Đối với (0): Tôi đoán thường là một trường số

được biểu diễn dưới dạng

nơi

là một đa thức bất khả quy. Khi đó, một phần tử của

là một cặp các cặp

trong đó

K

$\mathbb K$

Q [ξ] / ⟨ φ ⟩

$\mathbb Q[\xi]/\langle\varphi\rangle$

φ

$\varphi$

K

$\mathbb K$

((n_{0}, d_{0}), (n_{1}, d_{1}), \dots, (n_{δ - 1}, d_{δ - 1}))

$((n_0,d_0),(n_1,d_1),\dotsc,(n_{\delta-1},d_{\delta-1}))$

. Điều này có nghĩa rằng yếu tố của bạn là

δ = \deg (φ)

$\delta=\deg(\varphi)$

n_{0} / d_{0} + n_{1} ξ / d_{1} + \dots + n_{δ - 1} ξ^{δ - 1} / d_{δ - 1}

$n_0/d_0+n_1\xi/d_1+\dotsb+n_{\delta-1}\xi^{\delta-1}/d_{\delta-1}$

— Bruno

@Gil Bạn đã xem cuốn sách này trước đây? springer.com/mathatures/numbers/book/978-3-540-55640-4 Tôi không có quyền truy cập vào bản sao của mình vào lúc này (mặc dù tôi sẽ một lần nữa sau vài ngày nữa và sẽ kiểm tra điều này). Tôi sẽ xem liệu có bất cứ điều gì được viết về nhân tố hóa trong (i) các trường số đại số hay (ii) các miền Dedekind, với số lớp> 1.

— Daniel Apon

@vzn: Không đưa từ ngữ vào miệng Gil, tôi khá chắc chắn rằng anh ta có nghĩa là phần mở rộng hữu hạn của các tỷ lệ hợp lý (chính xác là những gì bạn liên kết đến). Khi anh ấy nói "bao thanh toán trong một lĩnh vực như vậy", tôi khá chắc chắn rằng anh ấy có nghĩa là bao thanh toán trong vòng số nguyên của một lĩnh vực như vậy. Trang wikipedia tương tự mà bạn đã liên kết có một phần trên vòng số nguyên trong trường số đại số.

— Joshua Grochow

@vzn Rây trường số sử dụng các trường số cho các số nguyên.

— Yuval Filmus

Câu trả lời:

Câu trả lời sau đây ban đầu được đăng dưới dạng bình luận trên blog của Gil

(1) Đặt là một trường số, trong đó chúng ta giả sử có đa thức cực tiểu monic . Sau đó, người ta có thể biểu diễn các phần tử của vòng số nguyên dưới dạng đa thức theo giá trị hoặc xét về cơ sở tích phân - hai số này là tương đương. $K=\mathbb{Q}(\alpha)$ $\alpha$ $f\in\mathbb{Z}[x]$ $\mathcal{O}_K$ $\alpha$

Bây giờ sửa chữa như trong (1) có một giảm thời gian đa thức từ vấn đề trên cho vấn đề trong . Để xác minh rằng các phép tính (ví dụ: giao một lý tưởng với hoặc bao gồm một mod đa thức ) có thể được thực hiện trong thời gian đa thức, xem cuốn sách của Cohen được đề cập trong câu trả lời trước. $K$ $K$ $\mathbb{Q}$ $\mathbb{Z}$ $p$

Là một tính toán trước cho mỗi số nguyên tố hợp lý chia phân biệt đối xử của (đó là phân biệt đối xử của ) tìm tất cả các số nguyên tố của nằm trên . $p$ $\alpha$ $f$ $\mathcal{O}_K$ $p$

(2) Để thử nghiệm tính nguyên, được đưa ra một lý tưởng để được như vậy mà (điều này có thể được tính trong thời gian đa thức và số lượng bit của là đa thức trong dữ liệu). Kiểm tra trong thời gian đa thức xem là số nguyên tố. Nếu không thì không phải là số nguyên tố. Nếu có thì tìm các số nguyên tố của nằm trên hoặc từ tiền mã hóa hoặc bằng cách bao thanh toán mod . Trong mọi trường hợp nếu là số nguyên tố thì nó phải là một trong những số nguyên tố đó. $\mathfrak{a}\triangleleft\mathcal{O}_K$ $p\in\mathbb{Z}$ $\mathfrak{a}\cap\mathbb{Z} = p\mathbb{Z}$ $p$ $p$ $\mathfrak{a}$ $\mathcal{O}_K$ $p$ $f$ $p$ $\mathfrak{a}$

(3a), (6a) Để bao thanh toán vào các số nguyên tố, đưa ra một lý tưởng tìm định mức của nó . Một lần nữa điều này có thể được tìm thấy trong thời gian đa thức và do đó không quá lớn. Yếu tố trong (theo kinh điển hoặc sử dụng thuật toán của Shor, tùy thuộc vào mức giảm bạn muốn). Điều này đưa ra một danh sách các số nguyên tố hợp lý chia , và do đó trong 2 chúng ta có thể tìm thấy danh sách các số nguyên tố của chia . Vì $\mathfrak{a}\triangleleft\mathcal{O}_K$ $y = N^K_\mathbb{Q}(\mathfrak{a}) = [\mathcal{O}_K:\mathfrak{a}]$ $y$ $\mathbb{Z}$ $y$ $\mathcal{O}_K$ $y$ này đưa ra danh sách các số nguyên tố chia . Cuối cùng, thật dễ dàng để xác định số mũ mà một số nguyên tố chia một lý tưởng nhất định. $\mathfrak{a} | y\mathcal{O}_K$ $\mathfrak{a}$

(3b), (6b) Nhưng Gil muốn nhân tố hóa thành irreducibles, không phải vào số nguyên tố. Nó chỉ ra rằng trao nguyên tố của ta có thể xây dựng một cách hiệu quả một thừa số của vào các yếu tố bất khả quy . Đối với điều này, hãy để là số lớp và lưu ý rằng có thể tính toán hiệu quả lớp lý tưởng của một lý tưởng nhất định. Bây giờ để tìm một ước số không thể thay đổi của chọn lý tưởng chính (có thể có sự lặp lại) từ hệ số của $x\mathcal{O}_K$ $x$ $\mathcal{O}_K$ $h_K$ $x$ $h_K$ $x$ . Theo nguyên tắc hố bồ câu, một số tập hợp con của các bội số đó đến danh tính trong nhóm lớp; tìm một tập hợp con tối thiểu như vậy. Sản phẩm của nó sau đó là một lý tưởng chính được tạo ra bởi một yếu tố không thể giảm được. Chia cho phần tử này, loại bỏ các lý tưởng có liên quan khỏi hệ số và lặp lại. Nếu hệ số có ít hơn phần tử thì chỉ cần lấy một tập hợp con tối thiểu của tất cả các yếu tố. $x$ $h_K$

(4) Tôi nghĩ rằng có thể tính các yếu tố thành irreducibles, nhưng đây là một chút kết hợp thêm - xin vui lòng cho tôi thời gian để giải quyết nó. Mặt khác, việc xác định tất cả chúng không thú vị trong bối cảnh các thuật toán nhân tố theo cấp số nhân vì nói chung có nhiều yếu tố như vậy theo cấp số nhân.

(5) Tôi không có ý tưởng.

— Lior Silberman
nguồn

Như Daniel đã đề cập, bạn có thể tìm thấy một số thông tin trong cuốn sách Một khóa học về lý thuyết số đại số tính toán ( liên kết ).

$K=Q[\xi]/\langle\varphi\rangle$ $\varphi$ $n$ $\mathbb Z[\xi]$ $\theta$ $\varphi$ $\alpha\in K$ $(a_0,\dotsc,a_{n-1},d)$ $a_i\in\mathbb Z$ $d>0$ $\gcd(a_0,\dotsc, a_{n-1},d)=1$

α = \frac{1}{d} \sum_{i = 0}^{n - 1} a_{i} θ^{i} .

$\alpha=\frac{1}{d} \sum_{i=0}^{n-1} a_i\theta^i.$

— Bruno
nguồn