Chiến lược giành chiến thắng của một trò chơi bị loại bỏ cạnh hoặc đỉnh bị cô lập

Là trò chơi thông tin hoàn hảo này chơi trên đồ thị biết / nghiên cứu?

Cho một đồ thị $G= (V,E)$ , hai người chơi thay thế chọn một cạnh hoặc một nút bị cô lập. Nếu người chơi chọn một cạnh $e = (u,v)$ , hai nút $u$ và $v$ sẽ bị xóa cùng với các cạnh sự cố của chúng. Nếu người chơi chọn một nút bị cô lập, nút đó sẽ bị xóa. Người chơi đầu tiên không thể di chuyển thua trò chơi.

Sự phức tạp của việc tìm kiếm người chiến thắng là gì?

Bất kỳ tài liệu tham khảo cho các trò chơi tương tự?

Tôi đăng một bản cập nhật dưới dạng tự trả lời chỉ để giữ cho nó khác biệt với câu hỏi ( vẫn còn mở ).

Như thể hiện trong các bình luận (nhờ Tsuyoshi Ito), vấn đề là thời gian đa thức có thể giải quyết được cho các đường dẫn:

$Win(P_n) = 1$$(n \bmod 34) \in \{3,7,23,27\}$

Bắt đầu từ 0, chuỗi (được tính) của các giá trị nim là định kỳ:

0,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,1,5,3,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,2,6,
4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,4,5,7,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,3,6,
4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,4,5,7,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,3,6,
...
the subsequence rseq of length 34:
4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,4,5,7,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,3,6
is repeated

Tôi đã không làm việc trên một bằng chứng toán học nghiêm ngặt, nhưng ý tưởng là:

giả sử rằng chúng ta muốn tính phần tử , sau đó di chuyển đầu tiên (chọn một cạnh) có thể phân chia đường dẫn theo các cách khác nhau (n-2,0), (n-3, 1), (n-4.2), ...). Giá trị nim mới bằng:$Win(P_n), n = k*34 + x \; (k\geq 4, 0 \leq x < 34)$$\lceil n / 2 \rceil$

$mex \{ P_{n-2}+P_0, P_{n-3}+P_1, ..., P_{\lceil n / 2 \rceil}+P_{n-\lceil n / 2 \rceil}\}$

34 phần tử đầu tiên của tập hợp được tạo bởi chuỗi không lặp lại đầu tiên (0,1,1,0, ...) (nim) được tổng hợp với các phần tử của trình tự lặp lại theo thứ tự ngược bắt đầu từ phần tử .$(34-2-x) \bmod 34$

Ví dụ: cho :$x = 0$

     0,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,1,5,3,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,2,6 +
     3,4,4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,7,5,4,4,3,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,6 =
mex{ 3,5,5,1,3,1,1,1,2,1,2,3,1,1,6,6,0,7,6,1,1,3,2,1,2,1,1,1,3,1,5,5,6,0 } = 4

Với x = 0..33, chuỗi mex kết quả bằng với chuỗi lặp lại:

4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,4,5,7,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,3,6

Các phần tử còn lại của tập hợp chỉ được tính toán trên (các) trình tự lặp lại: (đối với các cặp được lặp lại, vì vậy họ không thay đổi kết quả mex). Chuỗi mex kết quả cho x = 0..33 là:$rseq[j \bmod 34] + rseq[(34-2-x-j) \bmod 34]$$j \geq 34$

4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,4,4,7,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,3,4,

Điều này bằng với trình tự lặp lại ngoại trừ và ; nhưng các giá trị thấp hơn mex tương ứng trên chuỗi không lặp lại, vì vậy:$x=16$$x=33$

$mex \{ P_{n-2}+P_0, P_{n-3}+P_1, ..., P_{\lceil n / 2 \rceil}+P_{n-\lceil n / 2 \rceil}\}$ =$mex \{ P_{n-2}+P_0, P_{n-3}+P_1, ..., P_{n-2-33}+P_{33}\}$

và cho ,$(k\geq 4, 0 \leq x < 34)$$Win(P_{k*34 + x}) = Win(P_{34+x}) = Win(P_x)\;$