Chúng ta có nên coi

Nhiều chuyên gia tin rằng phỏng đoán là đúng và sử dụng nó trong kết quả của họ. Mối quan tâm của tôi là sự phức tạp phụ thuộc mạnh mẽ vào phỏng đoán P ≠ N $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

Vì vậy, câu hỏi của tôi là:

Chừng nào phỏng đoán không được chứng minh, liệu người ta có thể / nên coi nó như một quy luật tự nhiên, như được nêu trong trích dẫn từ Strassen? Hay chúng ta nên coi nó như một phỏng đoán toán học có thể chứng minh hoặc từ chối một ngày nào đó?$\mathsf{P}\neq\mathsf{NP}$

Trích dẫn:

"Bằng chứng ủng hộ giả thuyết của Cook và Valiant là quá lớn, và hậu quả của sự thất bại của họ rất kỳ cục, rằng tình trạng của họ có lẽ có thể được so sánh với các quy luật vật lý hơn là các phỏng đoán toán học thông thường."

[Sự tán dương của Volker Strassen đối với người chiến thắng giải thưởng Nevanlinna, Leslie G. Valian, năm 1986]

Tôi đặt câu hỏi này khi đọc bài Kết quả Vật lý trong TCS? . Có lẽ thú vị khi lưu ý rằng độ phức tạp tính toán có một số điểm tương đồng với vật lý (lý thuyết): nhiều kết quả phức tạp quan trọng đã được chứng minh bằng cách giả sử , trong khi trong các kết quả vật lý lý thuyết được chứng minh bằng cách giả sử một số định luật vật lý$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$ . Trong ý nghĩa này, có thể được coi như một cái gì đó E = m c 2 . Quay lại kết quả Vật lý trong TCS? :$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$E = mc^2$

TCS có thể là một nhánh của khoa học tự nhiên không?

Làm rõ:

(cf câu trả lời của Suresh bên dưới)

Có hợp pháp không khi nói rằng phỏng đoán trong lý thuyết phức tạp là cơ bản như một định luật vật lý trong vật lý lý thuyết (như Strassen đã nói)?$\mathsf{P}\neq\mathsf{NP}$

Tuyên bố của Strassen cần được đưa vào bối cảnh. Đây là một địa chỉ cho khán giả của các nhà toán học vào năm 1986, thời điểm mà nhiều nhà toán học không có ý kiến ​​cao về khoa học máy tính lý thuyết. Tuyên bố đầy đủ là

Đối với một số bạn có vẻ như các lý thuyết được thảo luận ở đây dựa trên nền tảng yếu. Họ không. Bằng chứng ủng hộ giả thuyết của Cook và Valiant là quá lớn, và hậu quả của sự thất bại của họ rất kỳ cục, rằng tình trạng của họ có lẽ có thể được so sánh với các quy luật vật lý hơn là các phỏng đoán toán học thông thường.

Tôi chắc chắn rằng Strassen đã có cuộc trò chuyện với các nhà toán học thuần túy, người đã nói điều gì đó dọc theo dòng

"Bạn đang dựa trên toàn bộ lý thuyết phức tạp trên một ngôi nhà thẻ. Nếu P = NP thì sao? Tất cả các định lý của bạn sẽ là vô nghĩa. Tại sao bạn không bỏ ra một chút nỗ lực và chứng minh rằng P NP, thay vì tiếp tục xây dựng một lý thuyết trên nền tảng yếu như vậy. "$\neq$

Trong năm 2013, khi P NP đã là một vấn đề giải thưởng Clay cho một chục năm, nó có vẻ khó tin rằng bất kỳ nhà toán học thực sự có thái độ như vậy; tuy nhiên, cá nhân tôi có thể xác nhận rằng một số đã làm.$\neq$

Strassen tiếp tục bằng cách nói rằng chúng ta không nên từ bỏ việc tìm kiếm một bằng chứng về P NP (do đó gián tiếp ngụ ý rằng đó thực sự là một phỏng đoán toán học):$\neq$

Tuy nhiên, một bằng chứng truyền thống sẽ rất được quan tâm và đối với tôi, giả thuyết của Valiant có thể dễ xác nhận hơn so với ...

vì vậy có lẽ tôi sẽ gán nó là "giả thuyết hoạt động" chứ không phải là "luật vật lý".

Cuối cùng tôi xin lưu ý rằng các nhà toán học cũng sử dụng các giả thuyết làm việc như vậy. Có một số lượng lớn các bài báo toán học chứng minh các định lý có phát biểu "Giả sử giả thuyết Riemann là đúng, thì ...".

Tôi có thể thấy ba cách liên quan để hiểu câu hỏi:

$NP \ne P$

$NP \ne P$

$NP \ne P$

Tôi nghĩ rằng có những lý do chính đáng để trả lời 'có' hoặc 'đủ điều kiện có' cho cả ba câu hỏi này.

Tôi không chắc là tôi hiểu. Một định luật vật lý (thuộc loại bạn chỉ ra) là một biểu thức toán học của một mô hình (trong ví dụ đó, tính tương đối) tuyên bố nắm bắt thực tế. Một định luật vật lý có thể được chứng minh là sai nếu toán học cơ bản không chính xác, nhưng nó cũng có thể sai nếu mô hình cơ bản thay đổi (ví dụ, cơ học newtonian). P vs NP là một phỏng đoán toán học cụ thể là đúng hoặc sai (và có thể chứng minh được hoặc không)

Để trả lời câu hỏi ban đầu của bạn:

$P \ne NP$

"Giả định độ cứng NP?: Không có phương tiện vật lý nào để giải quyết các vấn đề hoàn chỉnh của NP trong thời gian đa thức".

Ông đã có một bài nói chuyện thú vị tại Đại học Waterloo với tiêu đề Tính hấp dẫn tính toán như một định luật vật lý

$NL\neq PSPACE$$NP\neq coNP$$P\neq NP$

$\phi$$\phi$

Bạn có thể thực hiện rất nhiều thí nghiệm về tốc độ và vận tốc, và bạn sẽ có được bằng chứng áp đảo để xác nhận các định luật của Newton. Tất nhiên, bạn sẽ thấy một số điều rất kỳ lạ trong các thí nghiệm rất đặc biệt, như tốc độ ánh sáng trong nước di chuyển, hoặc một số sự kiện thiên văn. Nhưng những bằng chứng áp đảo của bạn sẽ nói với bạn: Newton đúng và những luật đó là thứ bạn cần

Tất nhiên, Newton "không đúng" và Einstein đã đuổi theo anh ta.

Với P = NP, chúng ta có thể thấy rất nhiều ví dụ có vẻ như P ≠ NP. Nhưng trong một số trường hợp cụ thể, chúng ta có những điều kỳ lạ. Nếu P ≠ NP, có vô số lớp giữa chúng, vì vậy chúng ta sẽ tìm thấy một số vấn đề trong NP không nằm trong P, nhưng không hoàn thành NP. Chúng tôi không biết ai trong số họ, và hầu hết các ứng cử viên đã được chứng minh là ở P.

Những gì bạn nghĩ về vấn đề này phụ thuộc vào nơi bạn muốn xem xét. Tôi sẽ không ngạc nhiên nếu P = NP.