Số lượng câu hỏi tệ nhất cần thiết để tìm hiểu một vị ngữ đơn điệu trên một vị trí

Hãy xem xét một vị trí hữu hạn trên mục và là một vị từ đơn điệu không xác định trên (nghĩa là với mọi , , nếu và thì ) . Tôi có thể đánh giá bằng cách cung cấp một nút và tìm hiểu xem có giữ hay không. Mục tiêu của tôi là xác định chính xác tập hợp các nút sao cho giữ, sử dụng ít đánh giá của$(X, \leq)$$n$$P$$X$$x$$y \in X$$P(x)$$x \leq y$$P(y)$$P$$x \in X$$P(x)$$x \in X$$P(x)$$P$càng tốt (Tôi có thể chọn các truy vấn của mình tùy thuộc vào câu trả lời của tất cả các truy vấn trước đó, tôi không bắt buộc phải lên kế hoạch trước cho tất cả các truy vấn.)

Chiến lược over là một hàm cho tôi biết, như là một hàm của các truy vấn mà tôi đã chạy cho đến nay và câu trả lời của chúng, nút nào để truy vấn và đảm bảo rằng trên bất kỳ vị từ , bằng cách làm theo chiến lược , Tôi sẽ đạt đến trạng thái mà tôi biết giá trị của trên tất cả các nút. Thời gian chạy của trên một vị từ là số lượng truy vấn cần thiết để biết giá trị của trên tất cả các nút. Thời gian chạy tệ nhất của là . Một chiến lược tối ưu sao cho wr (S') = \ min_S wr (S) .$S$$(X, \leq)$$P$$P$$r(S, P)$$S$$P$$P$$S$S ′ w r ( S ′ ) = min S w r ( S $wr(S) = \max_P r(S, P)$$S'$$wr(S') = \min_S wr(S)$

Câu hỏi của tôi là như sau: được đưa ra làm đầu vào poset $(X, \leq)$ , làm cách nào tôi có thể xác định thời gian chạy tồi tệ nhất của các chiến lược tối ưu?

[Rõ ràng là cần có một truy vấn poset n trống $n$(chúng ta cần hỏi về từng nút đơn) và với tổng số thứ tự xung quanh $\lceil \log_2 n \rceil$ sẽ cần (thực hiện tìm kiếm nhị phân để tìm các biên giới). Một kết quả tổng quát hơn là giới hạn dưới lý thuyết thông tin sau: số lượng lựa chọn có thể có của vị từ $P$ là số $N_X$ của antichains của $(X, \leq)$ (bởi vì có một ánh xạ một-một giữa các vị từ đơn điệu và antichains được hiểu là các yếu tố tối đa của $P$ ), vì vậy, vì mỗi truy vấn cung cấp cho chúng tôi một chút thông tin, chúng tôi sẽ cần ít nhất $\lceil \log_2 N_X \rceil$truy vấn, lún hai trường hợp trước. Điều này có bị ràng buộc chặt chẽ không, hay chúng là một số vị trí có cấu trúc sao cho việc học có thể yêu cầu nhiều truy vấn không có triệu chứng hơn số lượng antichains?]

Đây không phải là một câu trả lời hoàn chỉnh, nhưng quá lâu để có thể nhận xét.

Tôi nghĩ rằng tôi đã tìm thấy một ví dụ mà các ràng buộc không phải là chặt chẽ.$\lceil \log_2 N_X \rceil$

Hãy xem xét các tư thế sau. Tập hợp mặt đất là và a i nhỏ hơn b j cho tất cả i , j ∈ { 1 , 2 } . Các cặp khác là không thể so sánh được. (Sơ đồ Hasse là 4 xe máy ).$X=\{a_1, a_2, b_1, b_2\}$$a_i$$b_j$$i,j\in\{1,2\}$$4$

Hãy để tôi xác định các thuộc tính đơn điệu với sự đảo lộn của poset. Vị trí này có bảy đảo lộn: , { b 1 } , { b 2 } , { b 1 , b 2 } , { a 1 , b 1 , b 2 } , { a 2 , b 1 , b 2 } , { a 1 , một 2 , b 1$\emptyset$$\{b_1\}$$\{b_2\}$$\{b_1,b_2\}$$\{a_1,b_1,b_2\}$$\{a_2,b_1,b_2\}$ , và vị trí này có bảy antichains kể từ khi antichains tương ứng một-một với các upets. Vì vậy, ⌈ log 2 N X ⌉ = ⌈ log 2 7 ⌉ = 3 cho poset này.$\{a_1,a_2,b_1,b_2\}$$\lceil \log_2 N_X \rceil=\lceil \log_2 7 \rceil = 3$

Bây giờ, bằng lập luận bất lợi tôi sẽ chỉ ra rằng bất kỳ chiến lược nào cũng cần ít nhất bốn truy vấn (vì vậy cần truy vấn tất cả các yếu tố). Hãy sửa một chiến lược tùy ý.

Nếu chiến lược đầu tiên truy vấn , sau đó các đối thủ câu trả lời " P ( một 1 ) không giữ." Sau đó, chúng ta còn lại năm khả năng: ∅ , { b 1 } , { b 2 } , { b 1 , b 2 } , { a 2 , b 1 , b 2 } . Vì vậy, để xác định đó là trường hợp, chúng ta cần ít nhất ⌈ log 2 5 ⌉ = $a_1$$P(a_1)$$\emptyset$$\{b_1\}$$\{b_2\}$$\{b_1,b_2\}$$\{a_2,b_1,b_2\}$$\lceil \log_2 5\rceil = 3$nhiều truy vấn hơn. Tổng cộng, chúng tôi cần bốn truy vấn. Luận điểm này cũng áp dụng nếu truy vấn đầu tiên là .$a_2$

Nếu chiến lược đầu tiên truy vấn , thì câu trả lời bất lợi " P ( b 1 ) giữ". Sau đó, chúng ta còn lại năm khả năng: { b 1 } , { b 1 , b 2 } , { a 1 , b 1 , b 2 } , { a 2 , b 1 , b 2 } , { a 1 , a 2 , $b_1$$P(b_1)$$\{b_1\}$$\{b_1,b_2\}$$\{a_1,b_1,b_2\}$$\{a_2,b_1,b_2\}$ . Do đó, chúng tôi cần ít nhất ba truy vấn như trước đây. Tổng cộng, chúng tôi cần bốn truy vấn. Đối số tương tự áp dụng khi truy vấn đầu tiên là b 2 .$\{a_1,a_2,b_1,b_2\}$$b_2$

Nếu chúng ta lấy bản song song của poset này, sau đó nó có 7 k antichains, và do đó đề xuất ràng buộc là ⌈ log 2 7 k ⌉ = 3 k . Nhưng, vì mỗi bản sao cần bốn truy vấn, chúng tôi cần ít nhất 4 k truy vấn.$k$$7^k$$\lceil \log_2 7^k \rceil = 3k$$4k$

Có lẽ, có một vị trí lớn hơn với khoảng cách lớn hơn. Nhưng lập luận này chỉ có thể cải thiện hệ số.

Ở đây, vấn đề có vẻ là một tình huống trong đó không có truy vấn phân vùng không gian tìm kiếm đồng đều. Trong trường hợp như vậy, kẻ thù có thể buộc một nửa lớn hơn vẫn còn.

Trong bài báo của họ Mỗi Poset đều có phần tử trung tâm , Linial và Saks (Định lý 1) rằng số lượng truy vấn cần thiết để giải quyết vấn đề nhận dạng lý tưởng trong một vị trí nhiều nhất là K 0 log 2 i ( X ) , trong đó K 0 = 1 / ( 2 - log 2 ( 1 + log 2 5 ) ) và i ( X ) là số lý tưởng của X . Những gì họ gọi là "lý tưởng" thực sự là một tập hợp thấp hơn$X$$K_0 \log_2 i(X)$$K_0 = 1/(2 - \log_2(1 + \log_2 5))$$i(X)$$X$và có một sự tương ứng rõ ràng giữa các vị từ đơn điệu và tập hợp thấp hơn các điểm mà chúng không giữ, bên cạnh "vấn đề nhận dạng" của chúng là xác định bằng cách truy vấn các nút giống như trong cài đặt của tôi, vì vậy tôi nghĩ rằng chúng là đối phó với các vấn đề tôi quan tâm và đó .$i(X) = N_X$

Vì vậy, theo kết quả của họ, giới hạn dưới lý thuyết thông tin được thắt chặt với một hằng số nhân tương đối nhỏ. Vì vậy, đây cơ bản giải quyết vấn đề số lượng câu hỏi cần thiết, như một chức năng của và lên đến một hằng số nhân: đó là giữa log 2 N X và K 0 log 2 N X .$N_X$$\log_2 N_X$$K_0 \log_2 N_X$

Linial và Saks trích dẫn một cuộc giao tiếp cá nhân của Shearer để nói rằng có những đơn hàng đã biết mà chúng tôi có thể chứng minh giới hạn dưới của đối với một số K 1 chỉ thấp hơn K 0 một chút (đây là tinh thần của Câu trả lời của Yoshio Okamoto, người đã thử phương pháp này với giá trị nhỏ hơn là K 1 ).$K_1 \log_2 N_X$$K_1$$K_0$$K_1$

Điều này không trả lời đầy đủ câu hỏi của tôi về tính toán số lượng câu hỏi cần thiết từ , tuy nhiên, vì tính toán N X từ X là # P-đầy đủ , tôi có cảm giác rằng có rất ít hy vọng. (Nhận xét về điểm này được hoan nghênh.) Tuy nhiên, kết quả này của Linial và Saks đang khai sáng.$X$$N_X$$X$

Đối với Boolean n-cube (hoặc tương đương, cho poset ( 2 S , ⊆ ) của tất cả các tập con của một tập n phần tử), câu trả lời được đưa ra bởi Korobkov và Hansel của định lý (từ năm 1963 và 1966, tương ứng). Định lý Hansel [1] nói rằng một hàm Boolean đơn điệu chưa biết (nghĩa là một vị từ đơn điệu chưa biết trên vị trí này) có thể được học bằng thuật toán xác định tạo ra tối đa ϕ ( n ) = ($(\{0, 1\}^n, \leq)$$(2^S, \subseteq)$ truy vấn (có nghĩa là, yêu cầuφ(n)câu hỏi trong trường hợp xấu nhất). Thuật toán này phù hợp với giới hạn thấp hơn của định lý Korobkov của [2], trong đó nói rằngφ(n)-1truy vấn không đủ. (Vì vậy, thuật toán của Hansel là tối ưu trong trường hợp xấu nhất.) Thuật toán trong cả hai câu lệnh được hiểu là cây quyết định xác định.$\phi(n) = \binom{n}{\lfloor n/2 \rfloor} + \binom{n}{\lfloor n/2 \rfloor + 1}$$\phi(n)$$\phi(n) - 1$

Lôgarit của số antichains trong là tiệm tương đương với ($(\{0, 1\}^n, \le)$ , vì vậy có một khoảng cách không đổi yếu tố giữalogNXvà việc thực hiện thuật toán tối ưuφ(n)~2 ($\binom{n}{\lfloor n/2 \rfloor} \sim 2^n / \sqrt{\pi n / 2}$$\log N_X$ cho poset này.$\phi(n) \sim 2 \binom{n}{\lfloor n/2 \rfloor}$

Thật không may, tôi đã không thể tìm thấy một cách xử lý tốt thuật toán của Hansel bằng tiếng Anh có sẵn trên web. Nó dựa trên một Bổ đề mà các phân vùng n-cube vào chuỗi với tính chất đặc biệt. Một số mô tả có thể được tìm thấy trong [3]. Đối với giới hạn dưới, tôi không biết bất kỳ tài liệu tham khảo nào đến một mô tả bằng tiếng Anh.$\phi(n)$

Vì tôi quen thuộc với những kết quả này, tôi có thể đăng một mô tả trên arXiv, nếu việc điều trị trong bài viết của Kovalerchuk không đủ.

Nếu sáng không nhiều sai lầm, đã có những nỗ lực để khái quát phương pháp Hansel của, ít nhất là đến poset , nơi ( E k , ≤ ) là một chuỗi 0 < 1 < ... < k - 1 , mặc dù tôi không thể đưa ra bất kỳ tài liệu tham khảo ngay lập tức. Đối với trường hợp Boolean, mọi người cũng đã điều tra các khái niệm về độ phức tạp khác với trường hợp xấu nhất cho vấn đề này.$(E_k^n, \le)$$(E_k, \le)$$0 < 1 < \ldots < k - 1$

[1] G. Hansel, Sur le nombre des fonctions booléennes monotones de n biến. Học viện CR Khoa học. Paris, 262 (20), 1088-1090 (1966)

[2] VK Korobkov. Ước tính số lượng các hàm đơn điệu của đại số logic và độ phức tạp của thuật toán để tìm bộ giải quyết cho một hàm đơn điệu tùy ý của đại số logic. Toán Xô viết. Doklady 4, 753-756 (1963) (bản dịch từ tiếng Nga)

[3] B. Kovalerchuk, E. Triantaphyllou, NHƯ Deshpande, E. Vityaev. Học tương tác các hàm Boolean đơn điệu. Khoa học thông tin 94 (1), 87-118 (1996) ( liên kết )

[ LƯU Ý: Đối số sau đây dường như không hoạt động, nhưng tôi để nó ở đây để những người khác không mắc lỗi tương tự / trong trường hợp ai đó có thể sửa nó. Vấn đề là mức thấp hơn theo cấp số nhân liên quan đến việc học / xác định hàm đơn điệu, như dưới đây, không nhất thiết mâu thuẫn với thuật toán đa thức gia tăng cho bài toán. Và đó là cái sau tương đương với việc kiểm tra tính đối ngẫu của hai hàm đơn điệu trong thời gian poly.]

Tôi tin rằng phỏng đoán của bạn về nói chung là sai. Nếu nó thực sự là trường hợp đó log N X truy vấn là cần thiết, mà ngụ ý khá thấp một mạnh ràng buộc về học chức năng đơn điệu sử dụng các truy vấn thành viên . Đặc biệt, hãy để poset X là khối Boolean với trật tự thông thường (nếu bạn thích, X là Powerset của { 1 , . . . , N } với ⊆ trật tự một phần của nó). Số M của antichains tối đa trong X thỏa mãn log M $\log N_X$$\log N_X$$X$$X$$\{1,...,n\}$$\subseteq$$M$$X$ [1]. Nếu ý tưởng của bạn vềnhật kýNXlà chính xác, thì có một số vị từ đơn điệu trênXyêu cầu cơ bản ( n-$\log M = (1 + o(1))\binom{n-1}{\lfloor n/2 \rfloor}$$\log N_X$$X$truy vấn. Cụ thể, điều này hàm ý giới hạn thấp hơn về cơ bản là2ncho sự phức tạp của bất kỳ thuật toán nào giải quyết vấn đề này.$\binom{n-1}{n/2} \approx 2^n$$2^n$

Tuy nhiên, nếu tôi đã hiểu chính xác [ mà bây giờ tôi biết là tôi đã không ], thì vấn đề của bạn tương đương với việc kiểm tra tính đối ngẫu của hai hàm đơn điệu, có thể được thực hiện trong thời gian đa thức (xem phần giới thiệu của bài báo này Bioch và Ibaraki , trích dẫn Fredman và Khachiyan), mâu thuẫn với bất cứ điều gì gần với giới hạn dưới .$2^n$

[1] Liviu Ilinca và Jeff Kahn. Đếm tối đa antichains và bộ độc lập . arXiv: 1202.4427