Định lý Schaefer và CSP có chiều rộng không giới hạn

Định lý phân đôi của Schaefer cho thấy mỗi bài toán CSP trên đều có thể giải được trong thời gian đa thức hoặc là NP-đầy đủ. Điều này chỉ áp dụng cho các vấn đề CSP có chiều rộng giới hạn, ngoại trừ SAT và Horn-SAT, chẳng hạn. Các vấn đề CSP chung về chiều rộng không giới hạn có thể rất khó khăn (thậm chí không thể tính toán được), vì vậy chúng ta hãy hạn chế những vấn đề "tự nhiên" và nằm trong NP.$\{0,1\}$

Với một vấn đề CSP về chiều rộng không giới hạn, với mỗi , chúng ta có thể xem xét giới hạn của vấn đề đối với các mệnh đề có chiều rộng lên đến . Định lý Schaefer hiện được áp dụng và vấn đề bị hạn chế là ở P hoặc NP-đầy đủ. Nếu đối với một số , vấn đề hạn là NP-đầy đủ, thì vấn đề không bị hạn chế. Tình hình ít rõ ràng hơn khi với tất cả , vấn đề hạn chế là ở P.$k$$k$$k$$k$$k$$k$

Định lý phân đôi của Schaefer dựa trên bốn (hoặc hơn) các thuật toán khác nhau để giải quyết tất cả các trường hợp dễ dàng. Giả sử rằng đối với một vấn đề CSP nhất định, vấn đề hạn chế luôn luôn có thể giải quyết được bằng thuật toán A. Đây có thể là trường hợp thuật toán A có thể được sử dụng để giải quyết vấn đề không bị hạn chế. Hoặc có thể là thuật toán A không phải là thời gian đa thức trong trường hợp không giới hạn, và sau đó chúng ta không biết gì về độ cứng của vấn đề.$k$

Loại vấn đề này đã được xem xét? Có những ví dụ mà chúng ta đến điểm "không biết gì"?

Tôi tuyên bố rằng đối với một “Boolean CSP tự nhiên,” nếu k phiên bản -restricted là trong P cho mỗi k , sau đó phiên bản không hạn chế cũng là ở P. Tôi sẽ định nghĩa một “tự nhiên Boolean CSP” dưới đây.

Định lý Schaefer nói rằng CSP Boolean trên tập quan hệ S hữu hạn nằm trong P nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn và nó hoàn thành NP nếu không có điều kiện nào được thỏa mãn:

1. Mọi quan hệ trong S (ngoại trừ hằng số 0) đều được thỏa mãn bằng cách gán 1 cho tất cả các biến của nó.
2. Mọi quan hệ trong S (ngoại trừ hằng số 0) được thỏa mãn bằng cách gán 0 cho tất cả các biến của nó.
3. Mọi quan hệ trong S đều tương đương với công thức 2-CNF.
4. Mọi quan hệ trong S đều tương đương với công thức mệnh đề Horn.
5. Mọi quan hệ trong S đều tương đương với công thức mệnh đề Horn-dual. (Công thức mệnh đề hai sừng của người Viking có nghĩa là một công thức CNF trong đó mỗi mệnh đề chứa nhiều nhất một nghĩa đen.)
6. Mọi quan hệ trong S đều tương đương với một mệnh đề affine.

Bây giờ giả sử rằng P NP và xem xét trường hợp S là vô hạn. Nếu phiên bản giới hạn k nằm trong P cho mọi k , thì theo định lý Schaefer, mọi tập con hữu hạn của S đều thỏa mãn ít nhất một trong sáu điều kiện trên và điều này có nghĩa là toàn bộ S thỏa mãn ít nhất một trong sáu điều kiện. Điều này có nghĩa là CSP này mà không có sự hạn chế đối với arity cũng nằm trong P? Chưa.

Khi S là vô hạn, chúng ta phải xác định cách mỗi mệnh đề trong công thức nhập được đưa ra. Chúng tôi giả định rằng có một số bản đồ surjective từ {0,1} ^* để S , trong đó quy định cụ thể mã hoá các mối quan hệ trong S . CSP Boolean được chỉ định bằng cách cung cấp cả S và hàm mã hóa này.

Lưu ý rằng trong mỗi trường hợp 3, 4, 5 và 6 ở trên, có một cách tự nhiên để biểu diễn các quan hệ thỏa mãn điều kiện: công thức 2-CNF trong trường hợp 3, công thức mệnh đề Horn trong trường hợp 4, v.v. Ngay cả khi một mối quan hệ tương đương với (nói) công thức 2-CNF, không có gì đảm bảo rằng mã hóa của nó cho phép truy cập dễ dàng vào công thức 2-CNF tương đương với công thức.

Bây giờ chúng ta nói rằng CSP Boolean là tự nhiên khi chức năng mã hóa của nó thỏa mãn các điều sau:

• Đưa ra một mã hóa của một mối quan hệ và gán cho tất cả các biến của nó, cho dù mối quan hệ đó có được thỏa mãn hay không có thể được tính toán trong thời gian đa thức. (Lưu ý: Điều này đảm bảo rằng CSP được đề cập luôn nằm trong NP.)
• Với một mã hóa của một mối quan hệ thỏa mãn điều kiện 3, 4, 5 hoặc 6, biểu diễn tự nhiên của nó như được chỉ định ở trên có thể được tính trong thời gian đa thức.

Sau đó, dễ dàng nhận thấy rằng nếu S thỏa mãn một trong sáu điều kiện trên và mã hóa cho S thỏa mãn điều kiện tự nhiên này, thì chúng ta có thể áp dụng thuật toán tương ứng. Yêu cầu mà tôi đã nêu ở đầu có thể được chứng minh bằng cách xem xét cả trường hợp P = NP và trường hợp P ≠ NP.