Đồ thị trong đó mọi phân tách tối thiểu là một tập độc lập

Bối cảnh: Đặt là hai đỉnh của đồ thị vô hướng . Một tập đỉnh được là một -separator nếu và thuộc các thành phần được kết nối khác nhau của . Nếu không có tập con đúng của một -separator là một -separator thì là một -separator tối thiểu . Một tập đỉnh được đặt là một dấu tách (tối thiểu) nếu tồn tại các đỉnh sao cho là một (tối thiểu) -separator.$u, v$$G=(V,E)$$S\subseteq V$$u,v$$u$$v$$G-S$$u,v$$S$$u,v$$S$$u,v$$S\subseteq V$$u, v$$S$$u,v$

Một định lý nổi tiếng của G. Dirac nói rằng một đồ thị không có chu kỳ cảm ứng có độ dài ít nhất bốn (gọi là đồ thị tam giác hoặc hợp âm) nếu và chỉ khi mỗi phân tách tối thiểu của nó là một cụm. Người ta cũng biết rằng đồ thị tam giác có thể được nhận ra trong thời gian đa thức.

Câu hỏi của tôi: Đồ thị trong đó mỗi dải phân cách tối thiểu là một tập độc lập là gì? Là những đồ thị được nghiên cứu? Và độ phức tạp nhận dạng của các biểu đồ này là gì? Ví dụ cho các biểu đồ như vậy bao gồm cây và chu kỳ.

Biểu đồ của bạn đã được đặc trưng bởi bài viết này http://arxiv.org/pdf/1103.2913.pdf .

Chỉnh sửa: Trong bài báo ở trên, người ta đã chứng minh rằng các biểu đồ trong đó mọi phân tách tối thiểu là một tập độc lập chính xác là các biểu đồ không chứa chu kỳ với chính xác một hợp âm.

Các đồ thị không có chu kỳ với chính xác một hợp âm đã được nghiên cứu chuyên sâu bởi Trotignon và Vuskovic, Định lý cấu trúc cho các đồ thị không có chu kỳ với hợp âm độc đáo và hậu quả của nó , J. Lý thuyết đồ thị 63 (2010) 31-67 DOI . Kết quả của bài báo này, những biểu đồ này có thể được nhận ra trong thời gian đa thức. (Tuy nhiên, bài viết này không chỉ ra mối liên hệ với các dải phân cách tối thiểu độc lập!)

Chỉnh sửa (17 tháng 9 năm 2013): Rất gần đây (xem tại đây ), Terry Mckee mô tả tất cả các biểu đồ trong đó mọi phân tách đỉnh tối thiểu là một cụm hoặc một tập độc lập. Nó chỉ ra rằng đây là 'tổng số cạnh' của đồ thị hợp âm và đồ thị trong đó mọi phân tách đỉnh tối thiểu là một tập độc lập.

Dường như đặc tính sớm nhất của các biểu đồ trong đó mọi phân tách tối thiểu là một tập độc lập xuất hiện trong TA McKee, "Đồ thị phân tách độc lập", Utilitas Mathematica 73 (2007) 217-2-224. Đây chính xác là các biểu đồ trong đó không có chu kỳ nào có hợp âm duy nhất (hoặc, tương đương, trong đó, trong mỗi chu kỳ, mọi hợp âm đều có hợp âm chéo).

Có hai bài báo mới trên biểu đồ mà không có chu kỳ có chính xác một hợp âm. Cả hai chủ yếu liên quan đến việc tô màu các biểu đồ này: http://arxiv.org/abs/1309.2749 và http://arxiv.org/abs/1311.1928 .

Cái sau cũng đưa ra thuật toán nhận dạng . Nhưng một thời gian nhanh hơn đã được cung cấp trong bài báo của Trotignon và Vuskovic (được trích dẫn trong câu trả lời của người dùng13136).O ( m n $O(m^2n)$$O(mn)$