Các mạch số học với

Hãy xem xét một mạch lấy số đầu vào trong và có các cổng bao gồm các hàm , , và $[0,1]$ $\max(x, y)$ $\min(x, y)$ $1 - x$ . Đầu ra của mạch sau đó cũng là một số trong. $\frac{x+y}{2}$ $[0,1]$

Có ai biết nếu mô hình này, hoặc một mô hình liên quan chặt chẽ, đã được nghiên cứu?

Cụ thể, tôi đang cố gắng giải quyết vấn đề thỏa đáng cho mạch này, cụ thể là tính toán giá trị tối đa có thể đạt được của mạch này (nó thực sự đạt được mức tối đa, vì nó đại diện cho một hàm liên tục trong một miền nhỏ gọn).

Lưu ý: nghiên cứu của tôi về mô hình này là thông qua logic thời gian có trọng số, do đó, bất kỳ mô hình nào liên quan đến mô hình sau cũng có thể có ích.

arithmetic-circuits

— Thiếu
nguồn

Chắc chắn vấn đề này là NP-hard. (Qua sự thỏa mãn: bạn có

và

x \lor y \equiv max {x, y}

$x\vee y \equiv \max\{x,y\}$

, trong đó bạn có thể làm VÀ, HOẶC và KHÔNG.) Vì vậy, câu hỏi của bạn là vấn đề này có thuộc NP hay không ? Câu hỏi quyết định về việc một mạch như vậy có đầu vào mang lại giá trị 1 dường như nằm trong NP hay không, vì nếu có đầu vào như vậy, có một đầu vào là 0/1.

\neg x \equiv 1 - x

$\neg x \equiv 1 - x$

— Neal Young

Nếu chúng ta không nhất định chọn một trong các giá trị chân lý có thể

cho

, trong đó

là tất cả các cặp nút sao cho một

\leq 2^{n}

$\le2^n$

x \leq y

$x\le y$

x, y

$x,y$

min (x, y)

$\min(x,y)$

max (x, y)

$\max(x,y)$

— Emil Jeřábek

{a_{i} : i < m}

$\{a_i:i<m\}$

m

$m$

b_{i}

$b_i$

c_{i}

$c_i$

a_{i}

$a_i$

i < m

$i<m$

b_{i} \leq c_{i}

$b_i\le c_i$

c_{i} \leq b_{i}

$c_i\le b_i$

2^{m}

$2^m$

a_{i}

$a_i$

b_{i}

$b_i$

c_{i}

$c_i$ phù hợp, do đó nó biến thành một hệ phương trình tuyến tính có các biến là biến ban đầu của bài toán và các biến bổ sung tương ứng. ..

— Emil Jeřábek

m

$m$

[0, 1]

$[0,1]$

\geq u

$\ge u$

\geq u

$\ge u$ IFF tồn tại một sự lựa chọn của những hạn chế như vậy mà các chương trình tuyến tính liên quan có một giải pháp.

— Emil Jeřábek

O (n)

$O(n)$

O (1)

$O(1)$

2^{O (n)}

$2^{O(n)}$

Câu trả lời:

$C$ $u\in[0,1]$ $x$ $C(x)\ge u$

$\{a_i:i<m\}$ $C$ $m\le n$ $n$ $b_i$ $c_i$ $a_i$ $i<m$ $b_i\le c_i$ $c_i\le b_i$ $2^m$ $a_i$ $b_i$ $c_i$ $n$

$m$ $[0,1]$ $\ge u$ $O(n)$ $\ge u$

$O(n)$ $O(1)$ $2^{O(n)}$

$\min(1,x+y)$ $(x+y)/2$

— Emil Jeřábek
nguồn

Vấn đề này là NP-hard.

Bạn có thể nhận được 3-SAT với các cổng min ( x , y ), max ( x, y ) và 1− x .

Điều chúng tôi muốn là giảm bài toán 3-SAT thành một mạch mà bạn có thể nhận được 1 nếu tất cả các biến đều thỏa đáng và bạn chỉ có thể đạt được điều gì đó nghiêm ngặt dưới 1 nếu không.

Chúng ta có thể buộc tất cả các biến là 0 hoặc 1 bằng cách lấy tối thiểu rất nhiều biểu thức và làm cho các biểu thức này bao gồm max ( x , 1− x ).

Bây giờ với mọi mệnh đề trong bài toán 3-SAT x ∨ y ∨ z , chúng ta đặt biểu thức max ( x , y , z ) ở mức tối thiểu.

Tôi không biết giá trị tối ưu là gì đối với bài toán 3-SAT không thỏa đáng, nhưng nó sẽ chỉ nhỏ hơn 1.

— Peter Shor
nguồn

Đúng, độ cứng NP là "hướng dễ dàng", như được chỉ ra trong một nhận xét ở trên. Trong thực tế, nếu bạn không sử dụng cổng trung bình, nhưng chỉ tối thiểu và tối đa, thật dễ dàng để chỉ ra rằng giá trị tối đa là 1 nếu mạch Boolean tương ứng là thỏa đáng và 1/2 (đơn giản bằng cách cắm 1/2 cho tất cả các biến). Dù sao, vấn đề đã được giải quyết trong các ý kiến trên.

— Shaull

Không chính xác những gì bạn yêu cầu, nhưng một bối cảnh trong đó các mạch tương tự xuất hiện.

$1-x$

— Yuval Filmus
nguồn

1 - x

$1-x$