Hãy xem xét một mạng điện được mô hình hóa như một đồ thị phẳng G, trong đó mỗi cạnh đại diện cho điện trở 1Ω. Làm thế nào nhanh chóng chúng ta có thể tính toán điện trở hiệu quả chính xác giữa hai đỉnh trong G? Tương tự, làm thế nào nhanh chóng chúng ta có thể tính toán dòng điện chính xác chạy dọc theo mỗi cạnh nếu chúng ta gắn pin 1V vào hai đỉnh trong G?
Điện áp và luật hiện hành nổi tiếng của Kirchhoff làm giảm vấn đề này để giải quyết một hệ phương trình tuyến tính với một biến trên mỗi cạnh. Các kết quả gần đây hơn - được mô tả rõ ràng bởi Klein và Randić (1993) nhưng tiềm ẩn trong công trình trước đó của Doyle và Snell (1984) - giảm vấn đề giải quyết một hệ thống tuyến tính với một biến trên mỗi đỉnh, thể hiện tiềm năng của nút đó ; ma trận cho hệ tuyến tính này là ma trận Laplacian của đồ thị.
Hệ thống tuyến tính có thể được giải quyết chính xác trong thời gian bằng cách sử dụng phân tách lồng và tách phẳng [ Lipton Rose Tarjan 1979 ]. Đây có phải là thuật toán nhanh nhất được biết đến?
Các kết quả gần đây của Spielman, Teng và những người khác ngụ ý rằng hệ thống Laplacian trong các biểu đồ tùy ý có thể được giải quyết trong khoảng thời gian gần tuyến tính. Xem [ Koutis Miller Peng 2010 ] để biết thời gian chạy tốt nhất hiện tại và bài viết tuyệt vời này của Erica Klarreich tại Simons Foundation để biết tổng quan cấp cao. Nhưng tôi đặc biệt quan tâm đến các thuật toán chính xác cho đồ thị phẳng .
Giả sử một mô hình tính toán hỗ trợ số học thực chính xác trong thời gian không đổi.