Giới hạn dưới cho xác định và vĩnh viễn

Theo kết quả của khoảng cách gần đây ở kết quả độ sâu 3 (trong số những thứ khác mang lại mạch số học độ sâu 3 cho số xác định trên ), tôi có câu hỏi sau: Grigoriev và Karpinski đã chứng minh một thấp hơn bị ràng buộc đối với bất kỳ độ sâu 3 mạch số học tính toán các yếu tố quyết định ma trận trên lĩnh vực hữu hạn (mà tôi đoán, cũng giữ cho Thường trực). Công thức của Roker để tính toán Vĩnh viễn cho mạch số học độ sâu 3 có kích thướcn×nC2Ω(n)n×nO(n22n)=2O(n$2^{\sqrt{n}\log{n}}$$n \times n$$\mathbb{C}$$2^{\Omega{(n)}}$$n \times n$$O(n^2 2^n) = 2^{O(n)}$. Điều này cho thấy rằng kết quả về cơ bản là chặt chẽ đối với các mạch độ sâu 3 cho trường Thường trực trên các trường hữu hạn. Tôi có hai câu hỏi:

1) Có công thức độ sâu 3 cho công thức xác định tương tự như công thức của Ryser cho Vĩnh viễn không?

2) Có giới hạn dưới về kích thước của các mạch số học tính toán đa thức xác định \ textit {always} mang lại giới hạn thấp hơn cho đa thức vĩnh cửu không? (Trên $\mathbb{F}_2$ chúng là cùng một đa thức).

Mặc dù câu hỏi của tôi hiện nay liên quan đến các đa thức trên các trường hữu hạn, tôi cũng muốn biết trạng thái của những câu hỏi này trên các trường tùy ý.

Vĩnh viễn hoàn thành cho VNP theo dự đoán p trên bất kỳ lĩnh vực nào không phải là đặc điểm 2. Điều này cung cấp câu trả lời tích cực cho câu hỏi thứ hai của bạn. Nếu mức giảm này là tuyến tính, nó sẽ đưa ra câu trả lời tích cực cho câu hỏi đầu tiên của bạn, nhưng tôi tin rằng vẫn còn bỏ ngỏ.

Cụ thể hơn: có một số đa thức mà d e t n ( X ) là một phóng chiếu của p e r m q ( n ) ( Y ) , tức là có một thay nhất định gửi mỗi biến y i j cả cho một biến x k ℓ hoặc một hằng số sao cho sau khi thay thế này q ( n ) × q ( n ) vĩnh viễn được tính toán $q(n)$$det_n(X)$$perm_{q(n)}(Y)$$y_{ij}$$x_{k\ell}$$q(n) \times q(n)$ xác định.$n \times n$

1) Do đó, công thức của Ryser mang lại công thức độ sâu 3 (độ sâu không tăng theo các phép chiếu vì có thể thực hiện thay thế trên các cổng đầu vào) có kích thước để xác định. CẬP NHẬT : Như @Ramprasad chỉ ra trong các bình luận, điều này chỉ mang lại một cái gì đó không cần thiết nếu q ( n ) = o ( n log n ) , vì có một công thức 2 độ sâu tầm thường có kích thước n ⋅ n ! = 2 O ( n log n $2^{O(q(n))}$$q(n) = o(n \log n)$$n \cdot n! = 2^{O(n \log n)}$cho Det. Tôi với Ramprasad ở chỗ điều tốt nhất tôi biết là sự giảm qua ABP, mang lại .$q(n)=O(n^3)$

2) Nếu vĩnh viễn có thể được tính - một lần nữa, trên một số trường có đặc tính không phải 2 - bằng một mạch có kích thước s ( m ) , thì định thức n × n có thể được tính bằng một mạch có kích thước s ( q ( n ) ) . Vì vậy, giới hạn dưới của b ( n ) trên kích thước mạch cho d e t n mang lại giới hạn dưới của b ( q - 1 ( n ) ) trên kích thước mạch cho vĩnh viễn (đó là$m \times m$$s(m)$$n \times n$$s(q(n))$$b(n)$$det_n$$b(q^{-1}(n))$ nghịch đảo, không phải 1 / q ( n ) ). Các nêu trên q ( n ) = O ( n 3 ) mang lại một b ( n 1 / 3 ) perm thấp hơn ràng buộc từ một b ( n ) det thấp hơn bị ràng buộc.$q$ $1/q(n)$$q(n)=O(n^3)$$b(n^{1/3})$$b(n)$

Theo một cách nào đó, rất có thể là yếu tố quyết định, theo một cách nào đó, khó hơn là vĩnh viễn. Cả hai đều là đa thức, Waring Rank (tổng số n sức mạnh của dạng tuyến tính) của vĩnh viễn là khoảng 4 ^ n, Chow Rank (tổng các sản phẩm của dạng tuyến tính) là khoảng 2 ^ n. Rõ ràng, Waring Rank \ leq 2 ^ {n-1} Chow Rank. Đối với định thức, những con số đó chỉ là giới hạn thấp hơn. Mặt khác, tôi đã chứng minh một thời gian trước rằng thứ hạng Waring của yếu tố quyết định được giới hạn trên bởi (n + 1)! và điều này có thể gần với sự thật.