Là liên quan đến một dự đoán phổ quát?

Hãy xem xét bất kỳ ngôn ngữ . Xác định (một chuỗi bit vô hạn) bằng công thức đệ quy $L$ $s(L) \in {\lbrace 0, 1 \rbrace}^\omega$

s (L)_{n} = χ_{L} (s (L)_{< n})

$s(L)_n=\chi_L(s(L)_{<n})$

Ở đây là hàm đặc trưng của tức là cho , cho $\chi_L$ $L$ $\chi_L(w)=1$ $w \in L$ $\chi_L(w)=0$ $w \notin L$

Một ngôn ngữ được gọi là "công cụ dự đoán phổ quát (đóng)" khi $U$

\forall L \in P \forall n >> 0 : s (L)_{n} = χ_{U} (s (L)_{< n})

$\forall L \in \mathsf{P} \, \forall n>>0:s(L)_n=\chi_U(s(L)_{<n})$

Thật dễ dàng để thấy bằng cách xem xét . Tuy nhiên, có thể được đệ quy. Để đưa ra một ví dụ, hãy xem xét ngôn ngữ được quyết định bởi thuật toán sau đây . Với đầu vào , chạy tất cả các chương trình có thể theo thứ tự shortlex, cho phép mỗi chương trình thực thi trong thời gian trong đó là một hàm của sự tăng trưởng siêu đa thức. Khi nó đạt đến một chương trình tạo ra cộng với một hoặc nhiều bit và không dừng lại, xuất ra bit đầu tiên xuất ra sau . Dễ dàng nhận thấy điều đó (trong điều kiện nhẹ $U \notin \mathsf{P}$ $L = U^c$ $U$ $A$ $w$ $A$ $t(|w|)$ $t$ $R$ $w$ $A$ $R$ $w$ $t$ ) $A$ luôn luôn dừng lại và ngôn ngữ mà nó quyết định là một yếu tố dự đoán phổ quát. Độ phức tạp thời gian $A's$ là khoảng $2^nt(n)$

Cho $a \in {\lbrace 0, 1 \rbrace}^\omega$ , xác định $s(L, a)$ bằng

s (L, một)_{2 n} = = χ_{L} (S (L, một)_{< 2 n})

$s(L, a)_{2n} = \chi_L(s(L, a)_{<2n})$

S (L, một)_{2 n + 1} = = {một}_{n}

$s(L, a)_{2n + 1} = a_n$

Một ngôn ngữ $V$ được gọi là "công cụ dự đoán mở phổ quát" khi

$\forall w \in V : |w|$ thậm chí là
$\forall L \in \mathsf{P}, a \in {\lbrace 0, 1 \rbrace}^\omega \, \forall n>>0:s(L, a)_{2n}=\chi_V(s(L, a)_{<2n})$

[Tôi đang sử dụng các chỉ số dựa trên 0 nên $|s_{<2n}| = 2n$ ]

Một lần nữa rất dễ thấy nhưng có thể ở $V \notin \mathsf{P}$ $V$ $\mathsf{E}$

Có có một công cụ dự đoán mở phổ quát st không? $V$ $\mathsf{P}^V=\mathsf{NP}^V$

Tôi đặc biệt quan tâm đến việc có một ví dụ cụ thể về hoặc bằng chứng không tồn tại theo các giả định hợp lý, chẳng hạn như $V$ $V$ $\mathsf{P} \ne \mathsf{NP}$

Câu hỏi có vẻ lạ, vì vậy tôi sẽ phác thảo ngắn gọn động lực của tôi cho nó. Tôi quan tâm đến các mô hình trí thông minh giống như AIXI. Dưới đây đóng vai trò của môi trường, mà tôi cho rằng là một cách hiệu quả tính toán, và đóng vai trò của các hành động của các đại lý riêng của mình. Cho một câu trả lời tích cực cho câu hỏi của tôi, người ta có thể xây dựng một đại lý một cách hiệu quả tính toán so với mà tối ưu hóa một chức năng tiện ích tính toán một cách hiệu quả cho bằng cách chọn hành động tương lai của nó st là tối đa giả còn lại hoạt động môi trường theo dự đoán của $L$ $a$ $V$ $u$ $u$ $V$

— Vanessa
nguồn

Về mặt quan điểm tương đối hóa, V = PSPACE hoạt động.

— Tayfun Thanh toán

Tôi không quen thuộc với khái niệm dự đoán phổ quát, và tôi đã không làm theo mọi thứ bạn viết; đặc biệt, tôi đã không theo dõi bản phác thảo của bạn về bằng chứng tồn tại của một công cụ dự đoán phổ quát ở E. Nhưng giả sử rằng có tồn tại một công cụ dự đoán mở phổ quát thuộc về E, câu trả lời cho câu hỏi của bạn là tích cực. Và tôi sợ rằng bạn có thể sẽ thất vọng vì lý do.

Chỉnh sửa trong phiên bản 2: Tôi đã thay đổi cấu trúc để đáp ứng với hạn chế được thêm vào trong phiên bản 2 của câu hỏi, nhưng ý tưởng chung là như nhau: trộn một ngôn ngữ cứng vào một công cụ dự báo mở phổ quát theo cách định nghĩa của công cụ dự báo mở phổ quát không nhận thấy sự khác biệt.

Đặt T = {0 ^{| x |}11 x : x ∈ {0,1} ^* }. Lưu ý rằng mỗi từ trong T có độ dài chẵn. Một tính chất quan trọng của T là không có từ trong T là một tiền tố thích hợp của một từ khác trong T . Điều này có nghĩa rằng nếu sự chênh lệch đối xứng giữa hai ngôn ngữ V và W được chứa trong T thì cứ mỗi dãy vô hạn s ∈ {0,1} ^ω , có ít nhất một trong n mà χ _V ( s _{<2 n} ) ≠ χ_W ( s _{<2 n} ), và đặc biệt V là một công cụ dự báo mở phổ quát khi và chỉ khi W là một công cụ dự báo mở phổ quát.

Nó rất dễ dàng để thấy rằng có tồn tại một ngôn ngữ EXPSPACE động hoàn tất mà là một tập hợp con của T . Hãy để L là một ngôn ngữ như vậy. Đặt V là một công cụ dự đoán mở phổ quát thuộc về E, và do đó cũng thuộc về EXPSPACE. Xác định một ngôn ngữ W = L ∪ ( V ∖ T ). Do V là một công cụ dự báo mở phổ quát và sự khác biệt đối xứng giữa V và W được chứa trong T , W cũng là một công cụ dự báo mở phổ quát. Dễ dàng thấy rằng W hoàn thành EXPSPACE và do đó P ^W = NP ^W= NGOẠI TRỪ. Điều này kết luận rằng W thỏa mãn tính chất mong muốn.

— Tsuyoshi Ito
nguồn

Hà! Điểm tốt, nhưng bạn bắt tôi về một kỹ thuật. Tôi đã sửa định nghĩa để nói rằng một công cụ dự đoán mở phổ quát chỉ có các từ có độ dài bằng nhau. "Công cụ dự đoán phổ quát" là thuật ngữ của riêng tôi. Khái niệm này được lấy cảm hứng từ arxiv.org/abs/cs/0606070 nhưng Legg tránh những cân nhắc phức tạp về thời gian

— Vanessa

@Squark: Hmm, tôi đoán rằng ý tưởng pha trộn một ngôn ngữ cứng cũng hoạt động với định nghĩa sửa đổi và do đó tôi đoán rằng đây không chỉ là một kỹ thuật, mà tôi phải suy nghĩ nhiều hơn.

— Tsuyoshi Ito

@Squark: Tôi nghĩ nhiều hơn. :)

— Tsuyoshi Ito

OK, đây không phải là một kỹ thuật. Cám ơn!

— Vanessa