Tính độc đáo của đồ thị k-thường

Được biết, nó đã hoàn thành NP để kiểm tra xem chu trình Hamilton có tồn tại trong đồ thị 3 thông thường hay không, ngay cả khi đó là mặt phẳng (Garey, Johnson và Tarjan, SIAM J. Comput. 1976) hoặc bipartite (Akiyama, Nishizeki, và Saito, J. Thông báo. Proc. 1980) hoặc để kiểm tra xem chu trình Hamilton có tồn tại trong đồ thị 4 thông thường hay không, ngay cả khi đó là đồ thị được hình thành bởi sự sắp xếp các đường cong Jordan (Iwamoto và Toussaint, IPL 1994).

Đối với k nào khác, nó được biết là NP-đầy đủ để kiểm tra Tính độc lập của đồ thị k-thường?

Trường hợp cụ thể mà tôi quan tâm là đồ thị 6 số thông thường, với điều kiện bổ sung là đồ thị có số lượng đỉnh lẻ. Nếu trường hợp này có thể được hiển thị là NP hoàn chỉnh (hoặc đa thức) thì nó sẽ có tác động trong một vấn đề vẽ biểu đồ được mô tả trong http://arxiv.org/abs/1009.0579 . Điều kiện "số lượng đỉnh lẻ" là bởi vì điều tôi thực sự muốn biết là, đối với các đồ thị 6 thông thường, cho dù đồ thị có chứa chu trình Hamilton hay hai yếu tố lưỡng cực; nhưng việc có một số đỉnh lẻ giúp loại bỏ khả năng có hai yếu tố lưỡng cực chỉ để lại khả năng của một chu kỳ Hamilton.

Bước đầu tiên giả sử đồ thị có số đỉnh chẵn. Trong giai đoạn thứ hai, chúng ta sẽ mở rộng việc xây dựng, để nếu k chẵn, thì chúng ta sẽ chỉ ra cách biến đồ thị thành số đỉnh lẻ.

Giải pháp là một sàng lọc của ý tưởng được đề xuất trong câu trả lời khác.

Phần đầu tiên

Yêu cầu: Cho một đồ thị G với số đỉnh chẵn, người ta có thể tính đồ thị H không đều ( k + 1 ) và H là Hamiltonian iff G là Hamilton.$k$$G$$H$$(k+1)$$H$$G$

$k$$G$$G_1$$G_2$$v \in V(G)$$v_1$$v_2$$k+2$$v$$v'$$v''$v ′ v 2 v ″ C ( v ) $v_1$$v'$$v_2$$v''$. Đặt biểu thị thành phần này cho .$C(v)$$v$

Lặp lại điều này cho tất cả các đỉnh của và để biểu thị đồ thị kết quả.$G$$H$

Rõ ràng, đồ thị là thông thường. Chúng tôi cho rằng là Hamilton nếu và chỉ khi là Hamilton.k + 1 H $H$$k+1$$H$$G$

Một hướng là rõ ràng. Cho một chu kỳ Hambiltonian trong , chúng ta có thể dịch nó thành một chu kỳ trong . Thật vậy, bất cứ khi nào chu kỳ truy cập một đỉnh , chúng tôi hiểu nó là chuyển từ sang (hoặc ngược lại) trong khi truy cập tất cả các đỉnh trong . Như vậy, kết quả này trong một chu trình Hamilton trong . (Lưu ý, đây là nơi chúng ta đang sử dụng thực tế là số đỉnh ban đầu là chẵn - nếu chu kỳ là số lẻ thì điều này bị phá vỡ.)H v v 1 v 2 C ( v ) $G$$H$$v$$v_1$$v_2$$C(v)$$H$

Đối với một hướng khác, hãy xem xét một chu trình Hamilton trong . Phải là được truy cập bởi một phần của chu kỳ bắt đầu trong , truy cập tất cả các đỉnh của và rời khỏi (hoặc tùy chọn đối xứng). Thật vậy, chu trình Hamilton không thể nhập và rời khỏi cùng một . Như vậy, một chu trình Hamilton trong như một sự giải thích tự nhiên như một chu trình Hamilton trong . QED.C ( v ) v 1 C ( v ) v 2 v i H $H$$C(v)$$v_1$$C(v)$$v_2$$v_i$$H$$G$

Phần thứ hai

Như Tsuyoshi đã lưu ý dưới đây, bất kỳ đồ thị 3 thông thường nào cũng có số đỉnh chẵn. Như vậy, vấn đề là khó đối với đồ thị với số đỉnh chẵn. Cụ thể, các chương trình giảm trên vấn đề là khó khăn cho bất kỳ -regular đồ thị, mặc dù đồ thị kết quả có một số chẵn các đỉnh.$3$$k$

Chúng tôi quan sát, điều này ngụ ý rằng vấn đề sau đây là NP-hard.

Vấn đề A: Quyết định nếu đồ thị k- thường xuyên có số đỉnh chẵn có chu kỳ Hamilton đi qua một cạnh cụ thể .$G$$e$

Tuy nhiên, nếu thậm chí sau đó được đưa ra một thể hiện chúng ta có thể giảm nó thành vấn đề mong muốn. Thật vậy, chúng ta thay thế cạnh bằng một nhóm các đỉnh , như trước khi xóa một cạnh trong cụm, và kết nối hai điểm cuối của nó với các điểm cuối của và xóa khỏi biểu đồ. Rõ ràng, đối với biểu đồ mới :( G , e ) e k + 1 e e $k$$(G, e)$$e$$k+1$$e$$e$$H$

• $H$ là .$k$
• G $H$ là Hamiltonian iff là Hamilton với chu kỳ sử dụng .$G$$e$
• | V ( G ) | + k + 1 $H$ có đỉnh => có số đỉnh lẻ.$|V(G)| + k+1$$H$

Lưu ý rằng đồ thị , đối với lẻ, phải có số đỉnh chẵn (chỉ đếm các cạnh), Như vậy, không có đồ thị không đều có số đỉnh lẻ, với là số lẻ.k k $k$$k$$k$$k$

Kết quả

NP-Hard quyết định xem đồ thị có chu trình Hamilton cho . Vấn đề vẫn là NP-Hard ngay cả khi đồ thị có số đỉnh lẻ.k ≥ $k$$k\geq 3$

Tất nhiên, luôn có khả năng tôi đã phạm một số sai lầm ngu ngốc ...

Tập thể dục

Nếu chúng ta muốn đi từ một đồ thị đó là -regular để một đồ thị đó là (nói) -regular sau đó đồ thị kết quả từ việc áp dụng giảm trên lặp đi lặp lại kết quả trong một đồ thị với kích thước mà phụ thuộc theo cấp số nhân trên . Hiển thị, với đồ thị và , người ta có thể xây dựng đồ thị không đều và kích thước của nó là đa thức theo và , trong đó là số đỉnh của . Hơn nữa, là Hamilton nếu và chỉ khi là Hamilton.2 k k k G i > 2 H ( k + i ) k , i n n G G $k$$2k$$k$$k$$G$$i >2$$H$$(k+i)$$k,i$$n$$n$$G$$G$$H$

(Tôi đang đăng bài này dưới dạng bài tập, không phải câu hỏi, vì tôi biết cách giải quyết vấn đề này.)

EDIT: Bằng chứng này là sai, như được chỉ ra trong các ý kiến. (Tôi có nên xóa bài viết không?)

Theo trực giác, cảm giác như nếu Hamilton là NP-hard cho các đồ thị k-thường, thì nó cũng phải là NP-hard cho các đồ thị không đều (k + 1). Đây là một giảm bớt phong bì, có vẻ tốt đối với tôi, nhưng tất nhiên có thể có một sai lầm.

Đặt G là đồ thị k-thường. Đặt G 'là sản phẩm đồ thị của G và một cạnh. Nói cách khác, G 'là biểu đồ có hai bản sao của G và mọi đỉnh được kết nối với bản sao của nó. G 'bây giờ (k + 1) đều đặn, vì mỗi đỉnh có thêm 1 cạnh.

Yêu cầu: G có chu trình Hamilton khi và chỉ khi G 'có chu trình Hamilton.

Bằng chứng: Nếu G có chu trình Hamilton, thật dễ dàng để thấy rằng G 'cũng có một chu kỳ. Nói (u, v) là một cạnh trong chu trình Hamilton. Di chuyển theo chu kỳ từ u đến v mà không sử dụng cạnh đó và bây giờ thay vì sử dụng cạnh đó, hãy chuyển đến v 'từ v, trong đó v' là đỉnh tương ứng với v trong bản sao của G. Bây giờ đi qua chu kỳ theo thứ tự ngược lại trong biểu đồ này, điều này sẽ đưa chúng ta trở lại u '. Bây giờ đi từ u 'đến u, hoàn thành chu trình.

Nếu G 'có chu kỳ Hamilton bắt đầu từ đỉnh u, hãy xem xét cùng một chuỗi các lần di chuyển trên G. Mỗi lần di chuyển đến một đỉnh liền kề trong cùng một biểu đồ, chúng ta sẽ thực hiện cùng một động tác trong G. Mỗi lần di chuyển được thực hiện đến đỉnh tương ứng trong biểu đồ khác, chúng ta không làm gì cả. Vì mọi di chuyển đều hợp lệ trên biểu đồ G và chu trình kết thúc trên đỉnh u, đây là chu trình Hamilton.