Là màu đỉnh - trong một ý nghĩa - màu sắc cạnh?

Chúng ta biết rằng chất tạo màu cạnh của một đồ thị $G$ là chất tạo màu đỉnh của một đồ thị đặc biệt, cụ thể là của dòng đồ thị $L(G)$ của $G$ .

Có một đồ thị toán tử $\Phi$ mà đỉnh chất tạo màu của một đồ thị $G$ là chất tạo màu cạnh của đồ thị $\Phi(G)$ ? Tôi đang quan tâm đến một nhà điều hành đồ thị như vậy có thể được xây dựng trong thời gian đa thức, tức là đồ thị $\Phi(G)$ có thể thu được từ $G$ trong thời gian đa thức.

Ghi chú : Câu hỏi tương tự có thể được yêu cầu cho các bộ ổn định và khớp. Một kết hợp trong là một bộ ổn định trong . Có toán tử đồ thị sao cho các tập ổn định trong là khớp trong không? Kể từ ỔN ĐỊNH SET là -complete và MATCHING thuộc về , chẳng hạn một nhà điều hành graph (nếu tồn tại) không thể được xây dựng trong thời gian đa thức, giả sử . $G$ $L(G)$ $\Psi$ $G$ $\Psi(G)$ $\mathsf{ NP}$ $\mathsf{P}$ $\Psi$ $\mathsf{NP}\not=\mathsf{P}$

EDIT: Lấy cảm hứng từ câu trả lời @ usul và @ Okamoto và @ comments King, tôi thấy một hình thức yếu cho vấn đề của tôi: Vertex chất tạo màu của một đồ thị là chất tạo màu cạnh của một hypergraph được định nghĩa như sau. Đỉnh thiết lập của là tập đỉnh cùng . Đối với mỗi đỉnh của , khu phố khép kín là một cạnh của hypergraph $G$ $\Phi(G)$ $\Phi(G)$ $G$ $v$ $G$ $N_G[v]= N_G(v) \cup\{v\}$ . Sau đó là đồ thị dòng của hypergraph và do đó đỉnh chất tạo màu của được tạo màu cạnh của . $\Phi(G)$ $G$ $\Phi(G)$ $G$ $\Phi(G)$

Một lần nữa, tôi biết ơn tất cả những câu trả lời và ý kiến cho thấy, có hoặc không có giả định , các nhà điều hành Tôi đang tìm kiếm không thể tồn tại. Sẽ thật tốt nếu tôi có thể chấp nhận tất cả các câu trả lời! $\mathsf{NP}\not=\mathsf{P}$

graph-theory graph-algorithms

— người dùng13136
nguồn

Cảm ơn tất cả các bình luận tử tế (và kiên nhẫn!) Và câu trả lời hữu ích. Tôi cần thời gian để đọc, suy nghĩ và có thể có thể trở lại với đôi mắt tươi.

— user13136

Tôi đã gặp một vấn đề khá thú vị sau đây do Nishizeki và Zhou đặt ra vào năm 1998 có liên quan đến câu hỏi của bạn và nhận xét thứ hai của bạn với @TsuyoshiIto: Vấn đề tô màu đỉnh có thể được giảm bớt thành vấn đề tô màu cạnh không? (...) Vì cả hai vấn đề đều hoàn thành NP, nên có thể giảm xuống còn các vấn đề khác thông qua 3-SAT, do lý thuyết về tính đầy đủ của NP. Do đó, vấn đề mở hỏi, ... (xem tại đây )

— vb le

@vble: cảm ơn bạn! Tôi thừa nhận rằng tôi muốn "quá nhiều". Một nhà điều hành như vậy sẽ giải quyết vấn đề của Nishizeki và Zhou.

— user13136

Câu trả lời:

Bằng cách tương tự với biểu đồ đường , tôi nghĩ bạn đang hỏi như sau:

Đối với mỗi đồ thị vô hướng , không có tồn tại một đồ thị vô hướng như vậy mà mỗi đỉnh tương ứng với một cạnh và các cạnh tương ứng với và cổ phiếu ít nhất một thiết bị đầu cuối nếu và chỉ nếu $G = (V,E)$ $G' = (V',E')$ $v \in V$ $(v_1,v_2) \in E'$ $u \in V$ $v \in V$ ? $(u,v) \in E$

Câu trả lời có thể được xem là không . Xét cây bốn đỉnh có gốc có ba con . Trong , chúng ta phải có bốn cạnh: . Hơn nữa, nó phải là trường hợp hoặc $G$ $v$ $x,y,z$ $G'$ $(v_1,v_2),(x_1,x_2),(y_1,y_2),(z_1,z_2)$ hoặc $v_1$ $v_2$ là một thiết bị đầu cuối của mỗi trong ba cạnh khác ( ví dụ , , vv). Nhưng điều này có nghĩa là ít nhất hai trong ba cạnh còn lại phải chia sẻ một điểm cuối chung, vi phạm các yêu cầu của chúng tôi vì không có hai nào liền kề trong biểu đồ gốc. $\left| \{v_1,v_2\} \cap \{x_1,x_2\} \right| \geq 1$ $x,y,z$

Tôi nghĩ rằng cùng một biểu đồ sẽ cung cấp cho bạn một ví dụ cho câu hỏi phù hợp là tốt.

— sử dụng
nguồn

Điểm tốt! Thật ra tôi cũng có suy nghĩ như vậy. Nhưng có lẽ có một cách khác để định nghĩa

? Hoặc làm thế nào chúng ta có thể chính thức chứng minh rằng một nhà điều hành như vậy

không tồn tại?

G^{'}

$G'$

Φ

$\Phi$

— user13136

@ user13136, hmm, có thể có một số cách sáng tạo xung quanh nó, nhưng bạn sẽ cần phải viết lại câu hỏi của bạn (tôi nghĩ rằng ví dụ của tôi là một bằng chứng chính thức cho câu hỏi như được đặt trong hộp trích dẫn). Theo trực giác, tôi nghĩ vấn đề là khi đi theo hướng đồ thị đường thẳng, chúng ta lấy một cạnh (chỉ có thể được kết nối với hai đỉnh) và biến nó thành một đỉnh (có thể được kết nối với bất kỳ số cạnh nào) - dễ dàng . Ngược lại và ngược lại.

— usul

Chỉ cần thêm vào câu trả lời của usul, câu trả lời ngắn gọn là không, bởi vì các kết hợp có các thuộc tính cấu trúc không nhất thiết phải có trong các bộ ổn định. Ví dụ, mọi đồ thị dòng cũng gần như không có dòng và không có móng; điều này thực sự giới hạn độ sâu của màu sắc cạnh so với màu đỉnh.

— Andrew D. King

Câu hỏi chứa một sự mơ hồ trong ý nghĩa của bạn về màu sắc đỉnh của biểu đồ G là màu sắc cạnh của đồ thị H , nhưng rất khó để xây dựng một biểu đồ có số màu sắc cạnh bằng số màu sắc của (đỉnh) một đồ thị cho trước. Chính thức, vấn đề quan hệ sau đây là NP-hard.

Đại diện cho số màu như cạnh số màu
Instance : Một đồ thị G .
Giải pháp : Một đồ thị H như vậy mà cạnh số màu χ '( H ) của H là bằng với số χ màu ( G ) của G .

Điều này là do định lý của Vizing đưa ra thuật toán hiệu quả (tầm thường) gần bằng số sắc độ cạnh trong sai số cộng 1 trong khi số màu khó thậm chí gần đúng theo nhiều nghĩa khác nhau. Ví dụ, Khanna, Linial và Safra [KLS00] đã chỉ ra rằng vấn đề sau là NP-đầy đủ (và sau đó Guruswami và Khanna [GK04] đã đưa ra một bằng chứng đơn giản hơn nhiều):

3 có lẽ thật so với phi-4-có lẽ thật
Instance : Một đồ thị G .
Có - lời hứa : G có 3 màu.
Không hứa hẹn : G không phải là 4 màu.

Kết quả này là đủ để chứng minh độ cứng NP mà tôi đã tuyên bố lúc đầu. Một bằng chứng được để lại như một bài tập, nhưng đây là một gợi ý:

Tập thể dục . Chứng minh rằng vấn đề đã nói ở trên. Nghĩa là, xây dựng hai hàm thời gian đa thức f (ánh xạ đồ thị thành đồ thị) và g (ánh xạ đồ thị thành một bit) sao cho

Nếu G là đồ thị 3 màu và H là đồ thị sao cho χ ( f ( G )) = χ '( H ), thì g ( H ) = 1.

Nếu G là đồ thị không có 4 màu và H là đồ thị sao cho χ ( f ( G )) = χ '( H ), thì g ( H ) = 0.

Người giới thiệu

[GK04] Venkatesan Guruswami và Sanjeev Khanna. Về độ cứng của 4 màu, đồ thị 3 màu. Tạp chí SIAM về Toán học rời rạc , 18 (1): 30 Kết40 , 2004. DOI: 10.1137 / S0895480100376794 .

[KLS00] Sanjeev Khanna, Nathan Linial và Shmuel Safra. Về độ cứng của xấp xỉ số màu. Combinatorica , 20 (3): 393 bóng415, tháng 3 năm 2000. DOI: 10.1007 / s004930070013 .

— Tsuyoshi Ito
nguồn

Cảm ơn bạn đã trả lời! Tôi hơi thiếu chính xác bằng cách xây dựng màu sắc đỉnh của biểu đồ

là màu sắc cạnh của đồ thị

. Những gì tôi có nghĩa là một nhà điều hành

như dòng đồ thị toán tử

, nhưng từ chất tạo màu đỉnh để tạo màu cạnh. Đây là bằng cách nào đó hơn

G

$G$

H

$H$

Φ

$\Phi$

L

$L$

χ (G) = χ^{'} (H)

$\chi(G) = \chi'(H)$

— dùng13136

Kể từ VERTEX màu và EDGE MO PHỎNG đều

-complete, chúng ta có thể xây dựng, theo định nghĩa,

từ

trong thời gian đa thức như vậy mà

iff

.Nhưng như một nhu cầu xây dựng không thực hiện đầy đủ tài sản cho một nhà điều hành

tôi đang tìm kiếm. Nó chỉ làm giảm màu sắc đỉnh đến màu sắc cạnh.

N P

$\mathsf{NP}$

H

$H$

G

$G$

χ (G) \leq k

$\chi(G) \le k$

χ^{'} (H) \leq k^{'}

$\chi'(H) \le k'$

Φ

$\Phi$

— dùng13136

@ user13136: Nếu một yêu cầu yếu hơn là không thể thỏa mãn, thì yêu cầu mạnh hơn rõ ràng cũng là không thể. Đây là logic. Bạn nên hiểu rằng ví dụ đồ thị phẳng của bạn không phải là một ví dụ cho điều này. Quyết định 3 màu của đồ thị phẳng đã cho không phải là yêu cầu yếu hơn so với quyết định 4 màu của đồ thị phẳng đã cho; chúng chỉ là những yêu cầu khác nhau Mặt khác, tôi đã chỉ ra rằng những gì bạn muốn là không thể trừ khi P = NP, thời gian. Nhưng nếu bạn gặp khó khăn trong việc hiểu điều này, tôi không nghĩ có bất cứ điều gì tôi có thể làm để giúp bạn hiểu.

— Tsuyoshi Ito

Nếu tôi hiểu chính xác câu hỏi, bản đồ như vậy

không tồn tại. Chúng ta không cần đề cập đến tính đầy đủ của NP. Chỉ cần xem xét

và giả sử như

tồn tại. Kể từ khi

là 2-có lẽ thật,

nên 2 cạnh có lẽ thật. Điều này có nghĩa là mức độ tối đa của

nhiều nhất là hai. Kể từ

có bốn cạnh, chúng ta có thể đi qua tất cả các ứng cử viên cho

Φ

$\Phi$

G = K_{1, 3}

$G=K_{1,3}$

Φ (G)

$\Phi(G)$

G

$G$

Φ (G)

$\Phi(G)$

Φ (G)

$\Phi(G)$

Φ (G)

$\Phi(G)$

Φ (G)

$\Phi(G)$ (bảy ứng cử viên lên đến đẳng cấu), và chúng ta sẽ thấy rằng gia đình của chất tạo màu mép

Φ (G)

$\Phi(G)$

G

$G$

@ user13136: Tôi nhận ra rằng bạn có thể đã nhầm lẫn vì tôi chỉ viết một ý tưởng bằng chứng và tôi đã bỏ qua bằng chứng thực tế. Tôi đã sửa đổi câu trả lời để rõ ràng rằng tôi đã bỏ qua bằng chứng thực tế và thêm một số gợi ý để chứng minh. Nếu điều này vẫn không hiệu quả với bạn, thì tôi sẽ từ bỏ.

— Tsuyoshi Ito

$\Phi$ $G$ $G'$ $G = L(G')$ $G$ $\Phi$ $L^{-1}$ $\Phi(G)=G'$ $G$ $\Phi(G)$

— Trong lý thuyết
nguồn