Là giải pháp đề xuất một hệ thống bằng chứng hoàn chỉnh?

Câu hỏi này là về logic mệnh đề và tất cả các lần xuất hiện của "độ phân giải" nên được đọc là "độ phân giải mệnh đề".

Câu hỏi này là một cái gì đó cực kỳ cơ bản nhưng nó đã làm phiền tôi trong một thời gian. Tôi thấy mọi người khẳng định rằng giải quyết mệnh đề đã hoàn tất nhưng tôi cũng thấy mọi người khẳng định rằng độ phân giải chưa hoàn chỉnh. Tôi hiểu ý nghĩa trong đó giải quyết không đầy đủ. Tôi cũng thấy lý do tại sao mọi người có thể cho rằng nó hoàn chỉnh nhưng từ "hoàn thành" khác với cách "hoàn thành" được sử dụng khi mô tả suy luận tự nhiên hoặc tính toán tuần tự. Ngay cả vòng loại "hoàn thành từ chối" cũng không giúp ích gì vì các công thức phải có trong CNF và việc chuyển đổi công thức thành công thức CNF tương đương hoặc công thức CNF tương đương thông qua chuyển đổi Tseitin không được tính trong hệ thống chứng minh.

Sự lành mạnh và đầy đủ

Chúng ta hãy giả định các thiết lập của logic mệnh đề cổ điển với một mối quan hệ giữa một số vũ trụ của các cấu trúc và một bộ các công thức và khái niệm Tarskian cổ điển của chân lý trong một cấu trúc. Chúng tôi viết ⊨ φ nếu φ là đúng trong tất cả các cấu trúc đang được xem xét. Tôi cũng sẽ cho rằng một hệ thống ⊢ cho phát sinh các công thức từ công thức.$\models$$\models \varphi$$\varphi$$\vdash$

Hệ thống là âm thanh đối với với ⊨ nếu bất cứ khi nào chúng tôi có ⊢ φ , chúng tôi cũng có ⊨ φ . Hệ thống ⊢ là hoàn toàn liên quan đến ⊨ nếu bất cứ khi nào chúng tôi có ⊨ φ , chúng tôi cũng có ⊢ φ .$\vdash$$\models$$\vdash \varphi$$\models \varphi$$\vdash$$\models$$\models \varphi$$\vdash \varphi$

Quy tắc giải quyết

Một nghĩa đen là một đề xuất nguyên tử hoặc phủ định của nó. Một mệnh đề là một sự phân biệt của chữ. Một công thức trong CNF là sự kết hợp của các mệnh đề. Quy tắc giải quyết khẳng định rằng

Nguyên tắc giải quyết khẳng định rằng nếu kết hợp của mệnh đề với mệnh đề ¬ p ∨ D là satisfiable, mệnh đề C ∨ D cũng phải satisfiable.$C \lor p$$\neg p \lor D$$C \lor D$

Tôi không chắc chắn nếu một mình quy tắc giải quyết có thể được hiểu là một hệ thống bằng chứng bởi vì không có quy tắc nào để giới thiệu các công thức. Tôi giả sử ít nhất chúng ta cần một quy tắc giả thuyết cho phép đưa ra các mệnh đề.

Độ phân giải không đầy đủ

Được biết, độ phân giải là một hệ thống bằng chứng âm thanh. Nghĩa là, nếu chúng ta có thể lấy được một khoản từ một công thức F sử dụng độ phân giải sau đó ⊨ $C$$F$ . Nghị quyết cũnglà từ chối hoàn toàncó nghĩa nếu chúng ta có ⊨ $\models F \implies C$ thì chúng ta có thể lấy được ⊥ từ F sử dụng độ phân giải.$\models F \implies \bot$$\bot$$F$

Hãy xem xét các công thức

và ψ : = p ∨ q .$\varphi := p \land q$$\psi := p \lor q$

Trong hệ thống Gentzen của LK hoặc sử dụng khấu trừ tự nhiên, tôi có thể lấy được ngụ ý hoàn toàn trong hệ thống giấy tờ chứng minh. Tôi không thể rút ra hàm ý này bằng cách sử dụng độ phân giải vì nếu tôi bắt đầu bằng φ , không có độ phân giải.$\varphi \implies \psi$$\varphi$

Tôi thấy làm thế nào tôi có thể chứng minh tính hợp lệ của hàm ý này bằng cách sử dụng độ phân giải:

1. Hãy xem xét các công thức $\neg (\varphi \implies \psi)$
2. Biến công thức trên thành CNF bằng cách sử dụng quy tắc phân phối chuẩn hoặc sử dụng phép chuyển đổi Tseitin
3. Lấy từ công thức chuyển đổi sử dụng độ phân giải.$\bot$

Cách tiếp cận này không thỏa mãn với tôi vì nó yêu cầu tôi thực hiện các bước (1) và (2) nằm ngoài hệ thống chứng minh độ phân giải. Vì vậy, có vẻ như có một ý nghĩa rất rõ ràng trong đó độ phân giải không hoàn thành theo cách chúng ta nói rằng khấu trừ tự nhiên hoặc phép tính tuần tự đã hoàn tất.

Câu hỏi

Với tất cả những điều trên, câu hỏi của tôi là:

1. Hệ thống bằng chứng nào đang được xem xét khi thảo luận về giải pháp? Có phải chỉ là quy tắc giải quyết? Các quy tắc khác là gì?
2. Dường như rất rõ ràng với tôi rằng độ phân giải chưa hoàn thành theo nghĩa là phép trừ tự nhiên và phép tính tuần tự đã hoàn tất. Liệu các tài liệu khẳng định rằng giải pháp là thuật ngữ lạm dụng hoàn toàn chỉ bởi vì ý nghĩa trong đó giải quyết hoàn thành là thú vị hơn so với ý nghĩa trong đó nó không đầy đủ?
3. Có sự khác biệt này trong các khái niệm về tính đầy đủ như được áp dụng cho độ phân giải và các nơi khác và làm thế nào để điều hòa chúng đã được thảo luận ở độ sâu lớn hơn trong tài liệu?
4. Tôi cũng nhận ra rằng độ phân giải có thể được xác định trong phép tính liên tiếp theo quy tắc cắt. Là quan điểm lý thuyết chứng minh "đúng" về độ phân giải chỉ là một phần của phép tính tuần tự đủ để kiểm tra sự thỏa mãn của các công thức trong CNF?

Hệ thống bằng chứng nào đang được xem xét khi thảo luận về giải pháp? Có phải chỉ là quy tắc giải quyết? Các quy tắc khác là gì?

Tôi thảo luận về độ phân giải trong ngữ cảnh của "mệnh đề", đó là các chuỗi được tạo thành chỉ bằng chữ . Một mệnh đề cổ điển sẽ trông giống như Nhưng chúng ta cũng có thể viết nó là

LK bị giới hạn trong mệnh đề chỉ có bốn quy tắc suy luận:

• danh tính
• cắt (giải quyết mệnh đề)
• co lại (bao thanh toán mệnh đề)
• suy yếu

Rõ ràng là bốn quy tắc này đã hoàn thành để suy ra các mệnh đề, nghĩa là

Dự luật 1 Đối với bất kỳ khoản và tập các mệnh đề S , chúng tôi có S ⊨ C khi và chỉ khi S ⊢ C .$C$${\cal S}$${\cal S} \models C$${\cal S} \vdash C$

Bác bỏ bằng chứng cải vấn đề của đến S ∪ N ( C ) ⊢ ⊥ , nơi N ( C ) = { { ˉ Một } | A ∈ C } là tập hợp các điều khoản đại diện cho sự phủ định của C .${\cal S} \vdash C$${\cal S} \cup N(C) \vdash \bot$$N(C) = \{\{\bar{A}\} \mid A \in C\}$$C$

Rõ ràng là khi và chỉ khi S ∪ N ( C ) ⊢ ⊥ . Hệ thống bốn quy tắc của chúng tôi vẫn đủ để chứng minh vấn đề được chuyển đổi, nhưng chúng tôi nhận thấy rằng chúng tôi không cần danh tính và làm suy yếu thêm nữa. Hai quy tắc còn lại được gọi là "thủ tục chứng minh giải quyết".${\cal S} \vdash C$${\cal S} \cup N(C) \vdash \bot$

Dự luật 2 Đối với bất kỳ khoản và tập các mệnh đề S , chúng tôi có S ⊨ C khi và chỉ khi S ∪ N ( C ) ⊢ ⊥ chỉ sử dụng cắt và co.$C$${\cal S}$${\cal S} \models C$${\cal S} \cup N(C) \vdash \bot$

Điểm chuyển đổi vấn đề sang bằng chứng bác bỏ là hai lần:

• Chúng tôi có cơ hội tốt hơn để hướng dẫn tìm kiếm bằng chứng bằng cách cho lái nó.$N(C)$
• Chúng tôi có một xử lý về logic vị ngữ đầy đủ, có công thức có thể được chuyển đổi thành CNF để đạt được sự thỏa mãn.

Là quan điểm lý thuyết chứng minh "đúng" về độ phân giải chỉ là một phần của phép tính tuần tự đủ để kiểm tra sự thỏa mãn của các công thức trong CNF?

Thật!

1)

Quy tắc phi cấu trúc duy nhất là độ phân giải (trên các nguyên tử).

Tuy nhiên, một quy tắc tự nó không đưa ra một hệ thống bằng chứng. Xem phần 3.

2)

$\{\land, \lor, \lnot\}$$\{\land, \lor, \lnot\}$

Miễn là có một bản dịch "tốt đẹp" từ ngôn ngữ này sang ngôn ngữ khác, chúng ta có thể nói về sự hoàn chỉnh. Điều quan trọng về cơ bản là chúng ta có thể dịch các công thức từ cái này sang cái khác và ngược lại một cách hiệu quả. Bạn có thể kiểm tra luận điểm của Robert Reckhow, nơi anh ấy giải quyết vấn đề liên kết và cho thấy rằng đối với các hệ thống Frege, độ dài của các bằng chứng không thay đổi nhiều hơn một đa thức vì vậy sẽ rất tốt nếu bạn chọn bất kỳ bộ kết nối nào phù hợp mà bạn thích.

Tình hình để giải quyết là tương tự. Bằng cách giảm từ SAT xuống 3SAT, chúng tôi có thể hạn chế sự chú ý của mình đối với CNF và việc chuyển đổi có thể được thực hiện rất hiệu quả.

Lưu ý rằng độ phân giải không đơn độc ở đây, vấn đề cũng áp dụng cho các hệ thống bằng chứng khác. Lấy ví dụ Bounded-Depth Frege trong đó độ sâu của các công thức phải được giới hạn bởi một hằng số để theo định nghĩa, nó không thể chứng minh bất kỳ họ công thức có chiều sâu không giới hạn nào.

3)

$P$$\vdash_P$

• $\vdash_P$$\varphi$$\pi$$\pi$$P$$\varphi$

• $P$$\varphi$$\varphi$

• $\varphi$$P$$\varphi$

Định nghĩa này rất chung chung và không nói về cấu trúc của bằng chứng. Bất cứ điều gì thỏa mãn các điều kiện này là một hệ thống bằng chứng mệnh đề.

Những loại công thức chúng ta nên xem xét trong các mục này? Các loại công thức khác nhau đã được xem xét và cách xử lý đầu tiên cho vấn đề mà tôi biết là luận án của Robert Reckhow, trong đó ông cho thấy chừng nào người ta còn quan tâm đến các hệ thống Frege, thì tất cả chúng đều sử dụng bộ kết nối đầy đủ. là tương đương.

Về độ phân giải, nếu một người thực sự muốn có sự hoàn chỉnh về tất cả các công thức và không chỉ CNF, người ta có thể kết hợp một bản dịch thời gian đa thức cố định từ các công thức tùy ý sang CNF vào hệ thống chứng minh mà không có vấn đề gì vì bản dịch có thể tính toán được theo thời gian.

$\pi$$\bot$$\lnot \varphi$

4)

Độ phân giải cũng tốt, tuy nhiên người ta cũng có thể nghĩ về nó theo cách bạn đã đề cập, tức là chúng ta tất nhiên có thể coi đó là quy tắc cắt khi công thức cắt là một nguyên tử dương bằng cách di chuyển các nguyên tử âm sang tiền đề và giữ nguyên những người tích cực trong succedent:

$G$

ps: Câu trả lời của tôi chủ yếu là từ quan điểm lý thuyết phức tạp chứng minh. Bạn có thể muốn kiểm tra các quan điểm khác như lý thuyết bằng chứng cấu trúc .

Người giới thiệu:

• Robert A. Reckhow, " Về độ dài của bằng chứng trong phép tính đề xuất ", 1976.