Đại số trừu tượng cho các nhà khoa học máy tính lý thuyết

Tôi có một nền giáo dục toán học đại học hợp lý nhưng chưa bao giờ thoải mái 100% với đại số trừu tượng (toán học của các nhóm, vòng, trường, v.v.). Tôi nghĩ rằng đây là một phần vì tôi cần thấy các ứng dụng và bất kỳ thứ gì tôi có thể tìm thấy đều nằm trong vật lý chứ không phải CS. Vì sở thích của tôi thực sự là CS, hiện tại có tài liệu nào (bản thảo trực tuyến, ghi chú bài giảng, video, sách) bao gồm đại số trừu tượng theo quan điểm của các ứng dụng trong CS và đặc biệt là thuật toán / lý thuyết không? Tôi rất vui vì các ứng dụng này hoàn toàn là lý thuyết nhưng chúng không nên thừa nhận bất kỳ kiến ​​thức đại số trừu tượng nào đã tồn tại.

Tôi khá chắc chắn rằng những tài nguyên này tồn tại, chúng sẽ được đánh giá cao bởi một số lượng lớn các nhà nghiên cứu CS.

Bạn có thể thử ghi chú từ khóa học của Madhu Sudan: Đại số và tính toán

Một con đường có thể đi vào đại số trừu tượng có thể là nhìn nó từ quan điểm của mật mã học, đó là về các thuật toán trên trường hữu hạn. Các lĩnh vực là nhẫn, và các lĩnh vực cũng là hai nhóm được kết hợp bởi các luật đơn giản. Lý thuyết trường sử dụng các không gian vectơ ở vị trí nổi bật (lý thuyết Galois), vì vậy góc này sẽ bao gồm rất nhiều đại số trừu tượng. Quyển sách

Giới thiệu tính toán về lý thuyết số và đại số của V. Shoup

do đó có thể được quan tâm.

Đề nghị cá nhân của tôi sẽ là bỏ qua các ứng dụng, và nghiên cứu một văn bản toán học đại học cơ bản về đại số trừu tượng. Không thiếu những thứ đó. Chỉ cần tin tưởng rằng tất cả những thứ này là hữu ích, và việc sử dụng sẽ tiết lộ dễ dàng hơn một khi bạn đã nắm được cơ bản của tài liệu.

Hầu hết các đại số cơ bản là mang tính xây dựng và bạn có thể dễ dàng thực hiện các khái niệm cơ bản để hiểu rõ hơn, ví dụ: các thuật toán kiểm tra xem bảng nhân có phải là một nhóm không, một bộ giải phương trình trong một nhóm, một chương trình kiểm tra xem hai cấu trúc đại số có phải là đẳng cấu không. trong số các vấn đề này có các giải pháp vũ phu dễ thực hiện, nhưng chậm. Bạn càng tìm hiểu về đại số, bạn càng có thể tạo ra các phím tắt thuật toán để tăng tốc chương trình của mình. Ví dụ, các bài kiểm tra nguyên thủy Miller-Rabin và AKS nổi tiếng .

Hãy xem cuốn sách này của Rudolf Lidl và Harald Niederreiter: Giới thiệu về các trường hữu hạn và các ứng dụng của nó (tái bản lần 2, 1994) http://www.amazon.com/Intesistion-Finite-Fields-their-Appluggest/dp/0521460948

Trích dẫn mô tả cuốn sách ở Amazon: "Lý thuyết về các trường hữu hạn là một nhánh của đại số hiện đại đã xuất hiện trong những năm gần đây vì các ứng dụng đa dạng của nó trong các lĩnh vực như tổ hợp, lý thuyết mã hóa, mật mã học và nghiên cứu toán học về mạch chuyển mạch . "

Bên cạnh mật mã học, một ứng dụng thực tế rất tốt của đại số trong khoa học máy tính có lẽ là việc triển khai các phân số, trong đó tử số và mẫu số là một loại tích phân hoặc "số nguyên lớn" và độ dài mã hóa nhỏ bằng cách giảm phân số (nghĩa là tìm ra điểm chung nhất ước số của tử số và mẫu số).

Liên quan đến các kiểu dữ liệu "số nguyên lớn", một kết quả thú vị là cái gọi là "Định lý phần còn lại của Trung Quốc" cho phép song song hóa các phép toán số nguyên một khi biểu diễn là các thừa số nguyên tố của các đối số được biết đến.

Hơn nữa, hầu hết những thứ được tìm thấy trong đại số có thể mang tính thẩm mỹ (chỉ là quan điểm cá nhân).