Làm thế nào chúng ta có thể biểu thị như một công thức bậc nhất? [đóng cửa]

1. Làm cách nào chúng ta có thể biểu thị " " dưới dạng công thức bậc nhất?$P=PSPACE$
2. Cấp độ nào của hệ thống phân cấp số học có chứa công thức này (và mức tối thiểu được biết hiện tại của hệ thống phân cấp có chứa nó) là gì?

Để tham khảo, xem bài đăng blog này của Lipton .

Đầu tiên, tôi muốn giải quyết các bình luận cho câu hỏi, trong đó có ý kiến ​​cho rằng "false" biểu thị vì tuyên bố là sai. Mặc dù đây có thể là một trò đùa tốt, nhưng thực sự rất có hại khi nghĩ theo cách này. Khi chúng ta hỏi làm thế nào để diễn đạt một câu nhất định trong một hệ thống chính thức nhất định, chúng ta không nói về các giá trị thật. Nếu chúng ta là vậy, thì khi ai đó hỏi "Làm thế nào để tôi viết ra thực tế là có vô số số nguyên tố?" chúng ta có thể trả lời "3 + 3 = 6", nhưng điều này rõ ràng sẽ không làm được. Vì lý do tương tự "sai" không phải là câu trả lời hợp lệ cho "làm cách nào để tôi viết ra ?". Tôi nghĩ Frege và Russell đã cố gắng dạy chúng tôi bài học đó. Ok, bây giờ đến câu trả lời.P = P S P A C $P = PSPACE$$P = PSPACE$

Hãy để tôi chỉ cho làm thế nào để bày tỏ , theo một hướng khác cũng tương tự, và sau đó bạn có thể đặt chúng lại với nhau trong một kết hợp để get . Trong mọi trường hợp, với mục đích của bạn, có thể chỉ đủ để thể hiện chỉP S P A C E = P P S P A C E ⊆ $PSPACE \subseteq P$$PSPACE = P$$PSPACE \subseteq P$ , tùy thuộc vào những gì bạn đang làm.

Sử dụng các kỹ thuật tương tự như trong việc xây dựng vị từ$T$ a c c e p t s p a c e ( k , m , n ) Σ 0 0 = Π 0 0 k | n | m n | n | n k m n | n | m 2 | n | m của Kleene , chúng ta có thể xây dựng một công thức lượng tử giới hạn accept_ (do đó nằm trong ) nói "khi chúng ta chạy máy được mã hóa bởi và ràng buộc việc sử dụng không gian của nó thành , máy chấp nhận đầu vào . " Đâylà độ dài của . Một cách không chính thức để thấy rằng các công thức như vậy tồn tại là: đưa ra , và chúng ta có thể tính toán đệ quy nguyên thủy ràng buộc vào bao nhiêu thời gian và bao nhiêu không gian chúng ta sẽ cần (ví dụ, nhiều nhất là$accept_{space}(k, m, n)$$\Sigma^0_0 = \Pi^0_0$$k$$|n|^m$$n$$|n|$$n$$k$$m$$n$$|n|^m$ không gian và nhiều nhất là thời gian). Sau đó, chúng tôi chỉ đơn giản là tìm kiếm trong tất cả các dấu vết thực hiện có thể nằm trong giới hạn được tính toán - một tìm kiếm như vậy khá kém hiệu quả, nhưng nó là đệ quy nguyên thủy và vì vậy chúng tôi có thể biểu thị nó như một công thức giới hạn.$2^{|n|^m}$

Có một công thức tương tự trong đó thời gian chạy bị ràng buộc bởi .| n | $accept_{time}(k, m, n)$$|n|^m$

Bây giờ hãy xem xét công thức: Nó nói rằng cho mọi máy

$$\forall k, m . \exists k', m' . \forall n . accept_{space}(k,m,n) \Leftrightarrow accept_{time}(k',m', n).$$ $k$trong đó sử dụng nhiều nhất không gian có một máy k ′ sử dụng nhiều nhất | n | m ′ sao cho hai máy chấp nhận chính xác cùng một n . Nói cách khác, công thức nói P S P Một C E ⊆ P . Công thức này là Π 0 3 .$|n|^m$$k'$$|n|^{m'}$$n$$PSPACE \subseteq P$$\Pi^0_3$

Chúng tôi có thể cải thiện điều này nếu chúng tôi sẵn sàng diễn đạt thay vì câu " là trong polytime", điều này đủ tốt cho hầu hết các ứng dụng, vì TQBF đã hoàn thành PSPACE và vì vậy nó ở chế độ đa thời gian tương đương với P S P A C E ⊆ P . Đặt k 0 là (mã của) một máy nhận ra TQBF trong không gian | n | m 0 . Sau đó, " T Q B F ∈ P " có thể được diễn tả như ∃ k ' , m '$TQBF$$PSPACE \subseteq P$$k_0$$|n|^{m_0}$$TQBF \in P$ Công thức này chỉ là Σ 0 2 . Nếu tôi là một nhà lý thuyết phức tạp, tôi sẽ biết liệu có thể làm tốt hơn nữa hay không (nhưng tôi nghi ngờ điều đó).

$$\exists k', m' . \forall n . accept_{space}(k_0, m_0, n) \Leftrightarrow accept_{time}(k', m', n).$$ $\Sigma^0_2$

Andrej đã giải thích rằng có thể được viết dưới dạng Σ 0 2 -entent. Hãy để tôi kể rằng phân loại này là tối ưu theo nghĩa rằng nếu báo cáo kết quả tương đương với một Π 0 2 -sentence, sau đó thực tế này không tương đối hóa. Chính xác hơn, tập hợp các phép lạ A sao cho P A = P S P A C E A có thể xác định được bằng một mẫu Σ 0 2 với biến thứ tự A thứ hai miễn phí$P=\mathit{PSPACE}$$\Sigma^0_2$$\Pi^0_2$$A$$P^A=\mathit{PSPACE}^A$$\Sigma^0_2$$A$, Nhưng nó không phải là định nghĩa bởi bất kỳ -formula. Đối số được phác thảo (cho P = N P , nhưng nó hoạt động tương tự với P S P A C E ) trong các nhận xét tại /mathpro/57348 . (Trong thực tế, người ta có thể chỉ ra bằng cách xây dựng ý tưởng rằng tập hợp là Σ 0 2 - hoàn thành theo nghĩa thích hợp.)$\Pi^0_2$$P=\mathit{NP}$$\mathit{PSPACE}$$\Sigma^0_2$

EDIT: Bằng chứng tô pô được đưa ra trong nhận xét được liên kết là ngắn, nhưng nó có thể xuất hiện khó khăn. Đây là một đối số buộc trực tiếp.

có thể được viết như một Π 0 2 -formula có dạng φ ( A ) = ∀ $P^A\ne\mathit{PSPACE}^A$$\Pi^0_2$ , nơi θ là Δ 0 0 . Giả sử mâu thuẫn rằng P A = P S P A C E A cũng tương đương với a Π 0 2 -formula ψ ( A ) = ∀ $\phi(A)=\forall x\,\exists y\,\theta(A,x,y)$$\theta$$\Delta^0_0$$P^A=\mathit{PSPACE}^A$$\Pi^0_2$ . Fix thầy mo B , C mà P B ≠ P S P Một C E B và P C = P S P Một C E C .$\psi(A)=\forall x\,\exists z\,\eta(A,x,z)$$B$$C$$P^B\ne\mathit{PSPACE}^B$$P^C=\mathit{PSPACE}^C$

Kể từ , tồn tại y 0 đến nỗi θ ( B , 0 , y 0 ) . Tuy nhiên, θ là một công thức giới hạn, do đó việc đánh giá giá trị thật của θ ( B , 0 , y 0 ) chỉ sử dụng một phần hữu hạn của lời sấm. Như vậy, có tồn tại một bộ phận hữu hạn b 0 của B mà θ ( Một , 0 , y 0 ) cho mỗi oracle$\phi(B)$$y_0$$\theta(B,0,y_0)$$\theta$$\theta(B,0,y_0)$$b_0$$B$$\theta(A,0,y_0)$ mở rộng b 0 .$A$$b_0$

Đặt biểu thị lời tiên tri kéo dài b 0 và đồng ý với C trong đó b 0 không xác định. Vì P A và P S P A C E A không bị ảnh hưởng bởi sự thay đổi hữu hạn trong lời sấm, nên chúng ta có ψ ( C [ b 0 ] ) . Theo lập luận tương tự như trên, tồn tại z 0 và phần hữu hạn c 0 của C [ b 0$C[b_0]$$b_0$$C$$b_0$$P^A$$\mathit{PSPACE}^A$$\psi(C[b_0])$$z_0$$c_0$$C[b_0]$sao cho với mọi A kéo dài c 0 . Chúng ta có thể giả sử rằng c 0 kéo dài b 0 .$\eta(A,0,z_0)$$A$$c_0$$c_0$$b_0$

Tiếp tục theo cùng một kiểu, chúng ta xây dựng chuỗi vô hạn các số , z 0 , z 1 , z 2 , ... , và thầy mo phần hữu hạn b 0 ⊆ c 0 ⊆ b 1 ⊆ c 1 ⊆ b 2 ⊆ ⋯ như vậy$y_0,y_1,y_2,\dots$$z_0,z_1,z_2,\dots$$b_0\subseteq c_0\subseteq b_1\subseteq c_1\subseteq b_2\subseteq\cdots$

1. cho mỗi oracle Một mở rộng b n ,$\theta(A,n,y_n)$$A$$b_n$

2. cho mỗi oracle Một mở rộng c n .$\eta(A,n,z_n)$$A$$c_n$

Bây giờ, hãy để là một nhà tiên tri mở rộng tất cả b n và c n . Sau đó, 1 và 2 ngụ ý rằng φ ( A ) và ψ ( Một ) đồng thời giữ, điều này mâu thuẫn với giả định rằng họ là bổ sung lẫn nhau.$A$$b_n$$c_n$$\phi(A)$$\psi(A)$