Công thức 3-CNF yêu cầu độ phân giải

Nhớ lại rằng chiều rộng của một nghị quyết bác bỏ của một công thức CNF là số tối đa các chữ trong bất kỳ khoản xảy ra trong . Đối với mỗi , có các công thức không thỏa mãn trong 3-CNF st mỗi lần từ chối độ phân giải của yêu cầu độ rộng ít nhất là .$R$$F$$R$$w$$F$$F$$w$

Tôi cần một ví dụ cụ thể về một công thức không thỏa mãn trong 3-CNF (càng nhỏ và đơn giản càng tốt) không có độ phân giải độ rộng 4.

Ví dụ sau đây xuất phát từ bài báo đưa ra đặc tính kết hợp về độ rộng độ phân giải của Atserias và Dalmau ( Tạp chí , ECCC , bản sao của tác giả ).

Định lý 2 của bài báo nêu rõ, với công thức CNF , độ phân giải độ rộng tối đa k đối với F tương đương với chiến lược giành chiến thắng cho Spoiler trong trò chơi có thể tồn tại ( k + 1 ) . Nhớ lại rằng trò chơi sỏi hiện sinh được chơi giữa hai đối thủ cạnh tranh, gọi là Spoiler và Duplicator, và các vị trí của trò chơi là bài tập phần của kích thước miền tối đa là k + 1 cho các biến của F . Trong trò chơi ( k + 1 ) -pebble, bắt đầu từ bài tập trống, Spoiler muốn làm sai một mệnh đề từ $F$$k$$F$$(k+1)$$k+1$$F$$(k+1)$$F$trong khi ghi nhớ tối đa giá trị boolean tại một thời điểm và Sao chép muốn ngăn Spoiler làm như vậy.$k+1$

Ví dụ này dựa trên (phủ định) nguyên tắc pigeonhole.

Với mọi và j ∈ { 1 , Mạnh , n } , hãy để p i , j là một biến số mệnh đề có nghĩa là chim bồ câu i ngồi trong lỗ j . Đối với mỗi i ∈ { 1 , ... , n + 1 } và j ∈ { 0 , ... , n } , chúng ta hãy$i \in \{1, \dotsc, n+1 \}$$j \in \{1, \dotsc, n \}$$p_{i,j}$$i$$j$$i \in \{1, \dotsc, n+1 \}$$j \in \{0, \dotsc, n \}$ là một biến mệnh đề mới. 3 sau đây Cuối cùng,công thức 3 -CNF E P H $y_{i,j}$$3$ -CNF công thức bày tỏ rằng pigeon tôi ngồi ở một số lỗ: E P i ≡ ¬ y i , 0 ∧ n ⋀ j = 1 ( y i , j - 1 ∨ p i , j ∨ ¬ y i , j ) ∧ y i , n${EP}_i$$i$

$${EP}_i \equiv \neg y_{i,0} \wedge \bigwedge_{j=1}^n (y_{i,j-1} \vee p_{i,j} \vee \neg y_{i,j} ) \wedge y_{i,n}.$$ $3$ thể hiện sự phủ định của nguyên tắc pigeonhole là sự kết hợp của tất cảEPivà tất cả các mệnh đềH i , j k ≡¬pi,k∨¬pj,kchoi,j∈{1,Mạnh,n+1},i≠jvà${EPHP}_n^{n+1}$${EP}_i$$H_k^{i,j} \equiv \neg p_{i,k} \vee \neg p_{j,k}$$i,j \in \{1, \dotsc, n+1 \}, i \ne j$ .$k \in \{1, \dotsc, n \}$

Bổ đề 6 của bài báo đưa ra một bằng chứng khá ngắn gọn và trực quan rằng Spoiler không thể thắng trò chơi -pebble trên E P H P n + 1 n , do đó E P H P n + 1 n không có độ phân giải độ rộng tối đa n - 1 .$n$${EPHP}_n^{n+1}$${EPHP}_n^{n+1}$$n-1$

Bài viết có một ví dụ khác trong Bổ đề 9, dựa trên nguyên tắc trật tự tuyến tính dày đặc.

$\Omega(n^{(k-3)/12})$$k+1$