Tôi đã hy vọng rằng ai đó có thể giải thích cho tôi tại sao chính xác vấn đề sản phẩm tập hợp con là NP-hard trong khi vấn đề tổng tập hợp con là NP-hard yếu.
Tập hợp con Sum: Với và , không có tồn tại một tập con như vậy .
Tập hợp con sản phẩm: Với và , không có tồn tại một tập con như vậy .
Tôi luôn nghĩ rằng hai vấn đề là tương đương nhau - một thể hiện của SS có thể được chuyển đổi thành một thể hiện của SP thông qua lũy thừa và một thể hiện của SP thành SS thông qua logarit. Điều này khiến tôi kết luận rằng cả hai đều thuộc cùng một lớp NP-hard - tức là cả hai đều yếu NP-hard.
Hơn nữa, có vẻ như sự tái phát tương tự có thể được sử dụng để giải quyết cả hai vấn đề bằng cách sử dụng lập trình động với một thay đổi rất nhỏ (thay thế phép trừ trong SS bằng phép chia trong SP).
Đó là cho đến khi tôi đọc chương 8 của "Lý thuyết tính toán" của Bernard Moret (đối với những người không có sách, nó có bằng chứng về độ cứng của sản phẩm tập hợp con thông qua X3C - một vấn đề NP-hard mạnh).
Tôi hiểu sự giảm bớt, nhưng không thể tìm ra điều gì sai với kết luận trước đó của tôi (tương đương với hai vấn đề).
CẬP NHẬT : Hóa ra sản phẩm tập hợp con chỉ hoàn thành NP yếu (sản phẩm mục tiêu là cấp số nhân trong ). Gary và Johnson đã công bố điều này trong chuyên mục NP-đầy đủ của họ vào năm 1981 , nhưng tôi đoán nó ít được nhìn thấy hơn so với yêu cầu trước đây của họ trong cuốn sách của họ.