Về nghịch đảo 3-SAT

Bối cảnh : Kavvadias và Sideri đã chỉ ra rằng vấn đề 3-SAT nghịch đảo là coNP Hoàn thành: Cho một bộ mô hình trên biến, có công thức 3-CNF sao cho là bộ mô hình chính xác của nó không? Một công thức ứng cử viên ngay lập tức phát sinh là sự kết hợp của cả 3 mệnh đề được thỏa mãn bởi tất cả các mô hình trong .n φ $\phi$$n$$\phi$$\phi$

Vì nó chứa tất cả 3 mệnh đề mà nó ngụ ý, công thức ứng cử viên này có thể dễ dàng được chuyển đổi thành một công thức tương đương được đóng 3 dưới độ phân giải - Đóng 3 công thức là tập hợp con của đóng theo độ phân giải có chứa mệnh đề chỉ có kích thước từ 3 trở xuống. Công thức CNF được đóng theo độ phân giải nếu tất cả các độ phân giải có thể được giảm theo một mệnh đề của công thức - một mệnh đề được đặt dưới một mệnh đề nếu tất cả các chữ của đều nằm trong . c 1 c 2 c 2 c $F_{\phi}$$c_1$$c_2$$c_2$$c_1$

Với , việc gán một phần các biến sao cho không phải là tập con của bất kỳ mô hình nào của .Tôi $I$$I$$\phi$

Gọi , công thức cảm ứng bằng cách áp dụng cho : Bất kỳ mệnh đề nào có nghĩa đen được đánh giá là theo đều bị xóa khỏi công thức và mọi nghĩa đen đánh giá thành theo đều bị xóa từ tất cả các mệnh đề. tôi F φ t r u e tôi e một l s e $F_{\phi|I}$$I$$F_{\phi}$$true$$I$$false$$I$

Gọi , công thức xuất phát từ bởi tất cả các độ phân giải 3 giới hạn có thể có (trong đó độ phân giải và toán hạng có tối đa 3 chữ) và các phép con. F φ | $G_{\phi|I}$$F_{\phi|I}$

Câu hỏi : có đóng 3 dưới độ phân giải không?$G_{\phi|I}$

Trả lời: Có (ngay cả khi là một tập hợp con của một số mô hình của φ )$I$$\phi$

Cho tập các điều khoản mà xuất phát từ F φ ∪ F φ | Tôi bằng tất cả khả năng và độ phân giải subsumptions 3 giới hạn ( R | tôi là việc đóng cửa 3 hạn chế về F φ ∪ F φ | tôi ). Với c một điều khoản ngụ ý bởi F φ , nó tồn tại ít nhất một tập hợp con của R | Tôi có mệnh đề ngụ ý c . Tên R c như một tập hợp con.$R_{|I}$$F_{\phi} \cup F_{\phi|I}$$R_{|I}$$F_{\phi}\cup F_{\phi|I}$$c$$F_{\phi}$$R_{|I}$$c$$R_c$

Đặt thuộc tính sau: Với mọi c ngụ ý bởi F ϕ sao cho | c | Tôi | ≤ 3 ,$P(k)$$c$$F_{\phi}$$|c_{|I}| \le 3$

như vậy | R c | ≤ k ⇒ c | Tôi được gộp bởi một số khoản ∈ G φ | Tôi$[\exists R_c \subseteq R_{|I}$$|R_c|\le k \Rightarrow c_{|I}$$\in G_{\phi|I}]$

Ở đây không tái phát bắt đầu. Cho ngụ ý bởi F ϕ sao cho | c | Tôi | ≤ 3 , tức là c | Tôi ∈ 3-đóng F φ | Tôi .$c$$F_{\phi}$$|c_{|I}|\le 3$$c_{|I} \in$$F_{\phi|I}$

1. . Nếu ∃ R c ⊆ R | Tôi / | R c | = 1 sau đó R c = { d } ( d ∈ F φ ∪ F φ | Tôi subsumes c ) và c | Tôi bị lún bởi d | Tôi ∈ F φ | Tôi (lưu ý rằng bất kỳ khoản của F φ |$k=1$$\exists R_c \subseteq R_{|I} / |R_c|=1$$R_c=\{d\}$$d \in F_{\phi}\cup F_{\phi|I}$$c$$c_{|I}$$d_{|I} \in F_{\phi|I}$$F_{\phi|I}$được gộp bởi một số khoản của ). Do đó P ( 1 ) .$G_{\phi|I}$$P(1)$

2. Giả sử với k ≥ 1 . Nếu ∃ R c ⊆ R | Tôi như vậy | R c | ≤ k + 1 (và không có khác R c kích thước 1 mà c ∉ F φ và | c | > 3 ) sau đó giả sử c = ( α β gamma L I ) nơi α , β $P(k)$$k\ge1$$\exists R_{c}\subseteq R_{|I}$$|R_{c}|\le k+1$$R_{c}$$c\notin F_{\phi}$$|c|>3$$c=(\alpha \beta \gamma L_{I})$ là literals không được thiết lập bởi tôi và L tôi là một tập hợp con của literals tất cả các đánh giá 0 dưới tôi ( L Tôi ≠ ∅ ) , tức là c | Tôi = ( α β γ ) , với α , β , γ không nhất thiết phải khác nhau. $\alpha ,\beta ,\gamma$$I$$L_{I}$$I (L_I \neq \varnothing)$$c_{|I}=(\alpha \beta \gamma)$$\alpha ,\beta ,\gamma$

3. Xóa một mệnh đề khỏi R c sao cho | d i | Tôi | < | d i | ≤ 3 , nói cách khác, sao cho d i chứa một số chữ từ L I (có ít nhất một khoản như vậy trong R c kể từ khi L Tôi ≠ ∅ ) và | d i | Tôi | ≤ 2 .$d_{i}$$R_{c}$$|d_{i|I}|<|d_{i}|\le3$$d_{i}$$L_{I}$$R_{c}$$L_I \neq \varnothing$$|d_{i|I}|\leq 2$

4. Kích thước của tập còn lại là ≤ k . Nếu một điều khoản nào đó c ' = ( alpha beta gamma L ' Tôi ) được ngụ ý bởi R c ∖ d i (nơi L ' Tôi là một tập hợp con của literals tất cả các đánh giá 0 dưới tôi ) sau đó | c ′ | Tôi | = 3 và ∃ R c ′ = R c ∖ $R_{c}\setminus d_{i}$$\le k$$c'=(\alpha \beta \gamma L'_{I})$$R_{c}\setminus d_{i}$$L'_{I}$$I$$|c'_{|I}|=3$ như vậy | R c ′ | ≤k. BởiP(k), c ' | Tôi =(alphabetagamma)sau đó được gộp bởi một số khoản∈ G φ | I , tạo raP(k+1)choc.$\exists R_{c'}=R_{c}\setminus d_{i}\subseteq R_{|I}$$|R_{c'}|\le k$$P(k)$$c'_{|I}=(\alpha \beta \gamma)$$\in G_{\phi|I}$$P(k+1)$$c$

5. Nếu có chứa ˉ alpha hoặc ˉ beta hoặc ˉ gamma sau đó d i | Tôi vô dụng khi ám chỉ [một số mệnh đề phụ] c . Khi đó R c ∖ d i ngụ ý c , tạo ra P ( k + 1 ) như được hiển thị trước đó.$d_{i|I}$$\bar \alpha$$\bar \beta$$\bar \gamma$$d_{i|I}$$c$$R_{c}\setminus d_{i}$$c$$P(k+1)$

6. Nếu subsumes c | I thì P ( k + 1 ) được thỏa mãn cho c .$d_{i|I}\in F_{\phi|I}$$c_{|I}$$P(k+1)$$c$

7. Nếu không nhận c | Tôi và không chứa ˉ alpha hoặc ˉ beta hoặc ˉ gamma sau đó, hoặc d i | I = ( x ) hoặc d i | I = ( a x ) hoặc d i | Tôi = ( x y ) , nơi x và y ∉ { alpha beta $d_{i|I}$$c_{|I}$$\bar \alpha$$\bar \beta$$\bar \gamma$$d_{i|I}=(x)$$d_{i|I}=(ax)$$d_{i|I}=(xy)$$x$$y$ Và không được thiết lập bởi tôi , và một ∈ { alpha beta gamma } .$\notin\{\alpha \beta \gamma \}$$I$$a \in\{\alpha \beta \gamma \}$

   • Nếu sau đó R c ∖ d i ngụ ý ( ˉ x alpha beta gamma L I ) (nhớ lại rằng tương ứng với hệ số điều khoản C có nghĩa là ám chỉ một điều khoản mà subsumes C ). Vì bất kỳ độ phân giải với d i | I = ( x ) khi toán hạng loại bỏ ˉ x khỏi toán hạng khác thì không có mệnh đề nào của R c ∖ d $d_{i|I}=(x)$$R_{c}\setminus d_{i}$$(\bar{x}\alpha \beta \gamma L_{I})$$C$$C$$d_{i|I}=(x)$$\bar{x}$$R_{c}\setminus d_{i}$chứa (vì R c ∖ d i ⊆ R | tôi đó là việc đóng cửa 3 hạn chế về F φ ∪ F φ | tôi ). Sau đó R c ∖ d i ngụ ý ( alpha beta gamma L I ) , lôi kéo P ( k + 1 ) như thể hiện tại điểm (4).$\bar x$$R_{c}\setminus d_{i} \subseteq R_{|I}$$F_{\phi}\cup F_{\phi|I}$$R_{c}\setminus d_{i}$$(\alpha \beta \gamma L_{I})$$P(k+1)$

   • Nếu sau đó R c ∖ d i ngụ ý ( ˉ x alpha beta gamma L I ) . Thay ˉ x bởi một trong mỗi khoản có thể có của R c ∖ d i (nếu mệnh đề mới được gộp bởi một số điều khoản trong R | tôi , giữ khoản gộp thay Dù sao, mệnh đề thay thế là trong. R | tôi ). Tên R $d_{i|I}=(ax)$$R_{c}\setminus d_{i}$$(\bar{x}\alpha \beta \gamma L_{I})$$\bar{x}$$a$$R_{c}\setminus d_{i}$$R_{|I}$$R_{|I}$ tập kết quả ( R c , d i ⊆ R | I ). Sau đó R c , d i ngụ ý(alphabetagamma L I ), lôi kéoP(k+1)như trên.$R_{c,d_{i}}$$R_{c,d_{i}}\subseteq R_{|I}$$R_{c,d_{i}}$$(\alpha \beta \gamma L_{I})$$P(k+1)$

   • Nếu sau đó R c ∖ d i ngụ ý ( ˉ x alpha beta gamma L I ) và ( ˉ y alpha beta gamma L I ) . Thay ˉ x bởi y trong mỗi khoản có thể có của R c ∖ d i (như trên, nếu mệnh đề mới được gộp bởi một số điều khoản trong R |$d_{i|I}=(xy)$$R_{c}\setminus d_{i}$$(\bar{x}\alpha \beta \gamma L_{I})$$(\bar{y}\alpha \beta \gamma L_{I})$$\bar{x}$$y$$R_{c}\setminus d_{i}$$R_{|I}$, giữ nguyên điều khoản thay thế). Tên tập kết quả ( R c , d i ⊆ R | I ). Sau đó R c , d i ngụ ý ( y alpha beta gamma L I ) . Vì nó cũng ngụ ý ( ˉ y alpha beta gamma L I ) sau đó nó ngụ ý chỉ những thuốc làm tiêu độc ( alpha beta gamma L I ) , lôi kéo $R_{c,d_{i}}$$R_{c,d_{i}}\subseteq R_{|I}$$R_{c,d_{i}}$$({y}\alpha \beta \gamma L_{I})$$(\bar{y}\alpha \beta \gamma L_{I})$$(\alpha \beta \gamma L_{I})$ .$P(k+1)$

Bằng cách tái phát này, bất kỳ khoản 3-đóng F φ | Tôi được gộp bởi một số khoản ∈ G φ | Tôi (cách khác giữ là tốt). Sau đó, G φ | Tôi tương ứng với 3 đóng F φ | Tôi .$\in$$F_{\phi |I}$$\in G_{\phi|I}$$G_{\phi|I}$$F_{\phi |I}$

Tôi không thấy như thế nào có thể được tính trong thời gian đa thức bởi vì làm độ phân giải bản thân cần có thời gian theo cấp số nhân (trong trường hợp xấu nhất). Ví dụ: giả sử ứng viên 3-CNF công thức F 1 của bạn như sau: F 1 : = { { a , b , c } , { d , e , ¬ c } , { a , ¬ b , f } , { d , e , ¬ f } $F_\phi$$F_1$

$F_\phi$