Làm thế nào một vấn đề có thể ở NP, NP-hard và không hoàn thành NP?

Trong thời gian dài nhất, tôi đã nghĩ rằng một vấn đề là NP-đầy đủ nếu cả hai (1) NP-hard và (2) nằm trong NP.

Tuy nhiên, trong bài báo nổi tiếng "Phương pháp ellipsoid và hậu quả của nó trong tối ưu hóa tổ hợp" , các tác giả cho rằng bài toán số màu phân đoạn thuộc về NP và là NP-hard, nhưng chưa được biết là NP-hoàn chỉnh. Trên trang thứ ba của bài báo, các tác giả viết:

... chúng tôi lưu ý rằng bài toán đóng gói đỉnh của đồ thị có ý nghĩa tương đương với bài toán số màu phân đoạn và nhận xét về hiện tượng vấn đề sau này là một ví dụ về một vấn đề trong là -hard nhưng (như bây giờ) không được biết đến là -complete. $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$

Sao có thể như thế được? Tôi có thiếu một chi tiết tinh tế trong định nghĩa của NP-Complete không?

— Austin Hội trưởng
nguồn

Có vẻ như vấn đề này là loại giảm sử dụng cho mỗi người trong số họ, và họ đang sử dụng cái khác nhau: họ có thể có nghĩa là " -Hard wrt giảm Cook" và " -complete wrt giảm Karp". $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$

Đôi khi mọi người sử dụng phiên bản rút gọn Cook của -hardness vì nó có thể áp dụng cho các vấn đề tính toán tổng quát hơn (không chỉ là vấn đề quyết định). Mặc dù định nghĩa ban đầu của cả hai -hardness và -completeness giảm Nấu đã qua sử dụng (thời gian đa thức Turing giảm) nó đã trở thành phổ biến để sử dụng giảm Nấu cho -completeness (trừ khi nó được quy định rõ ràng). Tôi không nhớ bất kỳ bài báo nào gần đây đã sử dụng -complete có nghĩa là -complete wrt Cook giảm. (Như một lưu ý phụ là vấn đề đầu tiên được chứng minh với $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$ -hard là TAUT không SAT và tính đầy đủ cho SAT là ẩn trong bằng chứng đó.)

Bây giờ nếu bạn nhìn vào phần 7 của bài báo, dưới cùng của trang 195, bạn sẽ thấy rằng chúng có nghĩa là -hardness wrt Turing giảm. $\mathsf{NP}$

Vì vậy, điều họ muốn nói ở đây là vấn đề ở , rất khó đối với việc giảm wrt Cook, nhưng không rõ là giảm cho wrt Karp (giảm nhiều lần một đa thức). $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$

— Kaveh
nguồn

Ý bạn là DNF-Tautology của Taut? CoNP đã hoàn thành chưa? Bởi vì CNF-Tautology là tầm thường.

— Tayfun Trả

@TayfunPay: Rất có thể Tautology cho các công thức tùy ý không chỉ CNF hoặc DNF. Và Co-NP-Complete và NP-Complete là cùng một chế độ giảm Cook, đó là lý do Kaveh đề cập đến giai thoại này.

— frafl

@Tayfun, Cook chứng minh điều đó cho các công thức chung và sử dụng nó DNF-TAUT là một hệ quả trong bài báo. Cả hai đều là NP- hard wrt Cook giảm.

— Kaveh

@frafl, "NP-Complete" được định nghĩa trong bài báo năm 1972 của Karp . Bài viết của Cook năm 1971 định nghĩa việc giảm Cook và chứng minh rằng TAUT là NP-hard wrt them. Nó cũng chứng minh rằng một số vấn đề tương đương với việc giảm Cook. Tuy nhiên, NP-compelteness không được nêu rõ trong bài báo gốc.

— Kaveh