Làm thế nào để phương pháp hình học Mulmuley-Sohoni tạo ra giới hạn thấp hơn tránh tạo ra bằng chứng tự nhiên (theo nghĩa Razborov-Rudich)?

Phrasing chính xác của tiêu đề là do Anand Kulkarni (người đề xuất trang web này được tạo ra). Câu hỏi này đã được hỏi như một câu hỏi ví dụ, nhưng tôi cực kỳ tò mò. Tôi biết rất ít về hình học đại số, và trên thực tế cũng chỉ có một kiến ​​thức đại học, hiểu biết về những trở ngại khi chơi trong câu hỏi P / poly so với NP (không tương đối, không đại số, có khả năng sẽ không phải là một bằng chứng tự nhiên) .

Điều gì làm cho hình học đại số có vẻ như nó có thể vượt qua những trở ngại này? Đây chỉ là trực giác chuyên gia trong lĩnh vực hay chúng ta có lý do thực sự tốt để tin rằng phương pháp này mạnh hơn về cơ bản so với các phương pháp trước đây? Những kết quả yếu hơn có cách tiếp cận này có thể đạt được?

[Tôi sẽ trả lời câu hỏi như đã nêu trong tiêu đề, để lại một loạt các câu hỏi khác về GCT cho các chủ đề khác.] Chứng minh các phỏng đoán phát sinh trong GCT dường như sẽ sử dụng chủ yếu thực tế là các chức năng đang được xem xét (xác định và vĩnh viễn, và các đa thức liên quan khác cho P / poly và NP) được đặc trưng bởi các đối xứng của chúng. Sự cần thiết này không phải là một kết quả chính thức, mà là một trực giác được thể hiện bởi một số chuyên gia. (Về cơ bản là trong trường hợp không có đặc tính hóa bằng đối xứng, việc hiểu được hình học đại số và lý thuyết biểu diễn phát sinh là khó khăn hơn nhiều.)

Điều này nên bỏ qua Razborov-Rudich vì rất ít chức năng được đặc trưng bởi tính đối xứng của chúng (bỏ qua điều kiện lớn trong định nghĩa của bằng chứng tự nhiên). Một lần nữa, tôi chưa thấy bằng chứng nào về điều này, nhưng đó là một trực giác mà tôi đã nghe được thể hiện bởi một số chuyên gia.

Bây giờ, qua các số phức, đối với tôi không rõ ràng có sự tương tự của Razborov-Rudich. Mặc dù hầu hết GCT hiện đang tập trung vào các số phức, nhưng có những chất tương tự trong đặc tính hữu hạn (được hứa hẹn trong bài báo sắp tới GCT VIII). Trong đặc tính hữu hạn, người ta thực sự có thể chứng minh một tuyên bố có dạng "Rất ít chức năng được đặc trưng bởi tính đối xứng của chúng."

[Đáp lại bình luận của Ross Snider, đây là lời giải thích về đặc tính hóa bằng các đối xứng.]

Đầu tiên, một lời giải thích bằng ví dụ. Ví dụ, định nghĩa một hàm phụ . Nếu là ma trận hoán vị thì và nếu là đường chéo thì (tích của các mục chéo). Bây giờ, giả sử là một đa thức bậc đồng nhất trong biến (mà chúng ta nghĩ là các phép của ma trận ma trận ). Nếu có các đối xứng sau:A q ( A ) = 1 A q ( A ) = d e t ( A ) p ( X ) n n 2 n × n X $q$$A$$q(A)=1$$A$$q(A)=det(A)$$p(X)$$n$$n^2$$n \times n$$X$$p$

• $p(X) = p(X^t)$ (hoán vị)
• ( A , B ) A B q ( A ) q ( B ) = $p(AXB) = p(X)$ cho tất cả các cặp ma trận sao cho và là mỗi ma trận hoán vị hoặc ma trận đường chéo và$(A,B)$$A$$B$$q(A)q(B) = 1$

sau đó là một bội số liên tục của cho tất cả các ma trận . Do đó chúng tôi nói vĩnh viễn được đặc trưng bởi các đối xứng của nó.p e r m ( X ) $p(X)$$perm(X)$$X$

Tổng quát hơn, nếu chúng ta có một đa thức (đồng nhất) trong biến, thì (nhóm của tất cả các ma trận nghịch đảo ) hoạt động trên bởi cho (trong đó chúng tôi đang lấy các biến như một cơ sở cho việc không gian vector chiều mà tự nhiên đóng vai trò). Bộ ổn định của trong là nhóm con . Chúng ta nóim G L m m × m f ( Một f ) ( x 1 , . . . , x m ) = f ( A - 1 ( x 1 ) , . . . , Một - 1 ( x m ) ) Một ∈ $f(x_1, ..., x_m)$$m$$GL_m$$m \times m$$f$$(Af)(x_1,...,x_m) = f(A^{-1}(x_1),...,A^{-1}(x_{m}))$x 1 , . . . , x m m G L m f G L m Stab ( f ) = { A ∈ G L m : A f = f } f f ′ m $A \in GL_m$$x_1,...,x_m$$m$$GL_m$$f$$GL_m$$\text{Stab}(f) = \{ A \in GL_m : Af = f\}$$f$được đặc trưng bởi các đối xứng của nó nếu các giá trị sau: đối với mọi đa thức đồng nhất trong biến có cùng độ với , nếu cho tất cả , thì là bội số không đổi của .$f'$$m$$f$ Một ∈ Stab ( f ) f '$Af' = f'$$A \in \text{Stab}(f)$$f'$$f$

$P/poly$S A T ∉ P / p o l y S A T N P N $NP\not\subseteq P/poly$$SAT\notin P/poly$$SAT$$NP$$NP$

Nói cách khác, Razborov bù Rudich thường không gặp nhiều trở ngại trong giai đoạn đầu lập kế hoạch tấn công vào các giới hạn mạch, miễn là bạn rời khỏi phòng trong kế hoạch của mình để cuối cùng sử dụng "tài sản đặc biệt" của các hàm Boolean ứng cử viên của bạn. Chỉ khi bạn xắn tay áo lên và cố gắng điền vào các chi tiết của lập luận rằng rào cản nhập tịch sẽ bắt đầu ngẩng cao đầu một cách nghiêm túc. Cho rằng GCT vẫn đang ở giai đoạn phát triển ban đầu, chúng ta không nên lo lắng nhiều về việc nhập tịch (mặc dù tất nhiên điều đó đáng để kiểm tra rằng chương trình GCT không cam chịu vì những lý do tầm thường).

Bạn cũng có thể muốn kiểm tra giải trình GCT của Ken Regan , bao gồm một số nhận xét về hàng rào nhập tịch.