Logarit hoặc hoạt động gốc trong không gian loại là gì?

Gần đây tôi đã đọc Hai tính cách của tính toán: Các loại tiêu cực và phân số . Bài viết mở rộng về các loại tổng và loại sản phẩm, đưa ra ngữ nghĩa cho các loại a - bvà a/b.

Không giống như phép cộng và phép nhân, không chỉ có một mà là hai phép nghịch đảo lũy thừa, logarit và gốc. Nếu các loại hàm (a → b) là lũy thừa theo lý thuyết loại, được cho loại a → b(hoặc b^a) có nghĩa là gì có loại logb(c)hoặc loại a√c?

Liệu nó có ý nghĩa để mở rộng logarit và rễ đến các loại không?

Nếu vậy, đã có bất kỳ công việc trong lĩnh vực này, và một số hướng tốt về cách hiểu những hậu quả là gì?

Tôi đã cố gắng tìm kiếm thông tin về điều này thông qua logic, hy vọng thư từ Curry-Howard có thể giúp tôi, nhưng không có kết quả.

Một loại có logarit để cơ sở X của P chính xác khi nào C ≅ P → X . Đó là, C có thể được xem như một container của X yếu tố ở các vị trí do P . Trên thực tế, đó là một vấn đề hỏi những gì điện P chúng ta phải nâng cao X để có được C .$C$$X$$P$$C \cong P\to X$$C$$X$$P$$P$$X$$C$

Thật hợp lý khi làm việc với trong đó F là functor, bất cứ khi nào logarit tồn tại, nghĩa là l o $\mathop{log}F$$F$ . Lưu ý rằng nếu$\mathop{log}\!_X(F\:X)$ , thì ta chắc chắn có$F\:X\cong \mathop{log}F\to X$ , do đó, container cho chúng ta không có gì thú vị ngoài các yếu tố của nó: các container có lựa chọn hình dạng không có logarit.$F\:1\cong 1$

Định luật logarit quen thuộc có ý nghĩa khi bạn nghĩ về các vị trí

$$\begin{array}{rcl@{\qquad}l} \mathop{log} (\mathop{K}1) &=& 0 & \mbox{no positions in empty container}\\ \mathop{log} I &=& 1 & \mbox{container for one, one position}\\ \mathop{log} (F\times G) &=& \mathop{log}F+\mathop{log}G & \mbox{pair of containers, choice of positions} \\ \mathop{log} (F\cdot G) &=& \mathop{log}F\times\mathop{log}G & \mbox{container of containers, pair of positions} \end{array}$$

Chúng tôi cũng đạt được trong đó Z = l o $\mathop{log}\!_X(\nu Y. T) = \mu Z. \mathop{log}\!_X T$ dưới chất kết dính. Đó là,đường dẫnđến từng phần tử trong một số codata được xác định theo cách tự nhiên bằng cách lặp lại logarit. Ví dụ,$Z=\mathop{log}\!_XY$

$$\mathop{log}\mathop{Stream} = \mathop{log}\!_X(\nu Y. X\times Y) = \mu Z. 1 + Z = \mathop{Nat}$$

Cho rằng đạo hàm cho chúng ta biết loại trong bối cảnh một lỗ và logarit cho chúng ta biết các vị trí, chúng ta nên mong đợi một kết nối, và thực sự

$$F\:1\cong 1 \;\Rightarrow\; \mathop{log}F\cong \partial F\:1$$

Trong trường hợp không có sự lựa chọn về hình dạng, một vị trí cũng giống như bối cảnh một lỗ với các yếu tố được cọ xát. Tổng quát hơn, luôn đại diện cho sự lựa chọnhình dạng F cùng với vị trí phần tử trong hình dạng đó.$\partial F\:1$$F$

Tôi sợ rằng tôi có ít điều để nói về rễ, nhưng người ta có thể bắt đầu từ một định nghĩa tương tự và đi theo mũi của một người. Để biết thêm cách sử dụng logarit của các loại, hãy kiểm tra "Hàm ghi nhớ, đa giác!" Của Ralf Hinze. Phải chạy...

Tôi không biết về bất kỳ công việc nào theo đuổi dòng này, nhưng một vài phút nghĩ về nó đã đưa tôi đến giả thuyết này: không phải "gốc" của loại số mũ chỉ là tên miền và "logarit" của số mũ chỉ là tên miền?