Bằng chứng trong

Trong một cuộc nói chuyện của Razborov, một tuyên bố nhỏ gây tò mò được đăng tải.

Nếu FACTORING khó, thì định lý nhỏ của Fermat không thể chứng minh được trong .$S_{2}^{1}$

Là gì và tại sao là bằng chứng hiện tại không ở ? S 1 $S_{2}^{1}$$S_{2}^{1}$

$S^1_2$ là một lý thuyết về số học bị ràng buộc, nghĩa là một lý thuyết tiên đề yếu có được bằng cách hạn chế nghiêm ngặt lược đồ cảm ứng của số học Peano . Đây là một trong các lý thuyết xác định bởi Sam Buss trong mình luận văn , tài liệu tham khảo chung khác bao gồm Chương V của Hajek và Pudlák của metamathematics của bậc nhất số học , “số học Bounded, logic mệnh đề, và lý thuyết độ phức tạp” Krajicek của, Buss của Chương II của Sổ tay về lý thuyết bằng chứng , và nền tảng logic của Cook và Nguyễn về độ phức tạp của bằng chứng .

Bạn có thể nghĩ là một lý thuyết về số học, chỉ có cảm ứng cho các vị từ thời gian đa thức. Cụ thể, lý thuyết không chứng minh rằng lũy ​​thừa là một hàm tổng, lý thuyết có thể chứng minh chỉ tồn tại các đối tượng có kích thước đa thức (nói một cách lỏng lẻo).$S^1_2$

Tất cả các bằng chứng đã biết của Định lý Fermat nhỏ đều sử dụng các đối tượng có kích thước theo cấp số nhân hoặc chúng dựa vào việc đếm chính xác kích thước của các tập giới hạn (có thể không xác định được bằng một công thức giới hạn, ví dụ, trong hệ thống phân cấp đa thức, vì định lý Toda).

Kết quả trên FLT, và bao thanh toán bắt nguồn từ bài viết của Krajíček và Pudlák Một số hậu quả của các phỏng đoán mật mã cho và EF , và theo tôi thì nó khá sai lệch. Điều mà Krajíček và Pudlák chứng minh là nếu bao thanh toán (thực ra, IIRC họ tuyên bố nó cho RSA thay vì bao thanh toán, nhưng người ta biết rằng một đối số tương tự cũng có hiệu lực đối với bao thanh toán), rất khó cho thời gian đa thức ngẫu nhiên, thì không thể chứng minh được tuyên bố đó. mỗi số số nguyên tố tương ứng với số nguyên tố có modulo lũy thừa hữu hạn , nghĩa là tồn tại sao cho . S 1 2 S 1 2 a p p k a k ≡ $S^1_2$$S^1_2$$S^1_2$$a$$p$$p$$k$$a^k\equiv1\pmod p$

Đúng là đây là hậu quả của FLT, nhưng thực tế nó là một tuyên bố yếu hơn rất nhiều so với FLT. Cụ thể, tuyên bố này tuân theo nguyên tắc pigeonhole yếu, được biết là có thể chứng minh được trong một hệ thống con của số học bị ràng buộc (mặc dù mạnh hơn ). Do đó, lập luận của Krajíček và Pudlák cho thấy không chứng minh được nguyên tắc pigeonhole yếu trừ khi bao thanh toán là dễ dàng và do đó cung cấp sự phân tách có điều kiện của từ một cấp độ khác của hệ thống phân cấp đối bị ràng buộc, nói . S 1 2 S 1 2 T 2 $S^1_2$$S^1_2$$S^1_2$$T^2_2$

Ngược lại, FLT thực tế thậm chí dường như không thể chứng minh được trong số học bị ràng buộc hoàn toàn , nhưng điều này không liên quan đến mật mã. Bạn có thể tìm thấy một số cuộc thảo luận có liên quan trong các nhóm Abelian giấy của tôi và dư lượng bậc hai trong số học yếu .$S_2=T_2$