Ma trận độ cứng và sử dụng ma trận với độ cứng thấp

Một ma trận thứ hạng được cho là cứng nhắc, nếu để đưa thứ hạng của nó xuống $n$ , người ta phải thay đổi ít nhấtn1+εcác mục của nó, đối với một sốε>0.$\frac{n}{2}$$n^{1+\epsilon}$$\epsilon > 0$

Nếu một ma trận A là cứng nhắc, sau đó chương trình đường thẳng nhỏ nhất tính Một x ( x là một vector của các kích thước n ) là kích thước hoặc siêu tuyến tính, hoặc có chiều sâu siêu logarit.$n \times n$$A$$Ax$$x$$n$

Có một điều ngược lại với tuyên bố trên?

Nói cách khác, có sử dụng ma trận độ cứng thấp không tầm thường và không rõ ràng có thứ hạng đầy đủ trong TCS không?

Có một khái niệm về độ cứng cho các ma trận có cấp bậc thấp hơn không (nói cho một số hằng sốc)?$\frac{n}{c}$$c$

thiếu làm rõ thêm câu hỏi, đây là một thử / phác thảo một câu trả lời. độ cứng của ma trận có mối liên hệ sâu sắc với các câu hỏi cơ bản trong lý thuyết phức tạp / TCS bao gồm giới hạn mạch thấp hơn, [1] và do đó phân tách lớp phức tạp và lý thuyết mã hóa [2] cũng như các lĩnh vực khác. [5] là một khảo sát trượt tốt đẹp.

các thuật ngữ "thấp" và "cao" liên quan đến độ cứng của ma trận được sử dụng không chính thức và không được hiểu theo nghĩa kỹ thuật được xác định chính xác. [mặc dù Friedman đã định nghĩa độ cứng "mạnh". [6]] Ma trận ngẫu nhiên được biết là có độ cứng cao nhưng về cơ bản, một vấn đề mở 3,5 thập kỷ trong lĩnh vực này để xây dựng rõ ràng bất kỳ ma trận nào có độ cứng "cao đáng kể".

câu hỏi không xác định thêm / làm rõ các thuật ngữ chủ quan "không tầm thường" hoặc "không biểu hiện" và sẽ có một số tự do ở đó.

trong lĩnh vực này có một dòng nghiên cứu xem xét độ cứng của ma trận Hadamard có sử dụng / ứng dụng linh tinh trong lý thuyết mã hóa & các nơi khác.

Có vẻ công bằng khi nói rằng một kết quả có độ cứng cao có thể chứng minh được sẽ vượt qua ngưỡng dẫn đến ít nhất là "hệ quả tất yếu mới trong lý thuyết phức tạp" nhưng giới hạn được biết đến nhiều nhất trên ma trận Hadamard không đủ. [3] nhưng điều này cũng không chứng minh rằng họ có độ cứng "thấp". về cơ bản câu chuyện tương tự với ma trận Vandermonde [cũng là ứng dụng trong lý thuyết mã hóa] được xem xét bởi Lokam. [4]

vì vậy để tóm tắt về tất cả những gì có thể nói là "giới hạn độ cứng yếu thấp hơn" đã được chứng minh trên một số ma trận bao gồm ma trận Hadamard / Vandermonde.

cũng không xuất hiện bất kỳ thí nghiệm, ước tính hoặc thuật toán số nào được công bố trong khu vực.

[1] Độ phức tạp chức năng Boolean của Stasys Jukna, 2011, giây 12.8 "ma trận cứng nhắc đòi hỏi các mạch lớn"

[2] Về độ cứng của ma trận và các mã tự sửa cục bộ Zeev Dvir

[3] Cải thiện giới hạn dưới về sự vô lý của ma trận Hadamard Kashin / Razborov

[4] Về độ cứng của ma trận Vandermonde Lokam

[5] Nói chuyện cứng nhắc ma trận Mahdi Cheraghchi

[6] J. Friedman. Một lưu ý về độ cứng của ma trận. Kết hợp, 13 (2); 235-239, 1993