Các thuật toán xây dựng hiệu quả mà không có hiệu quả chính xác và bằng chứng hiệu quả

Tôi đang tìm kiếm các ví dụ tự nhiên về các thuật toán hiệu quả (tức là trong thời gian đa thức) st

tính đúng đắn và hiệu quả của chúng có thể được chứng minh một cách xây dựng (ví dụ trong $PRA$ hoặc $HA$ ), nhưng
không có bằng chứng nào chỉ sử dụng các khái niệm hiệu quả (nghĩa là chúng ta không biết cách chứng minh tính đúng đắn và hiệu quả của chúng trong hoặc ). $TV^0$ $S^1_2$

Tôi có thể tự làm ví dụ nhân tạo. Tuy nhiên tôi muốn các ví dụ tự nhiên thú vị, tức là các thuật toán được nghiên cứu cho riêng họ, không được tạo ra chỉ để trả lời loại câu hỏi này.

— Kaveh
nguồn

Có lẽ một cái gì đó từ lý thuyết automata, nơi một thuật toán dễ dàng, nhưng để hiển thị nó hoạt động, người ta cần phải xem xét tất cả các tập hợp con của cái gì đó hoặc cái khác?

— Andrej Bauer

Làm thế nào về kiểm tra tính nguyên thủy thời gian đa thức? Bằng chứng đó có khả năng đủ phức tạp để khó có thể dính vào

S_{2}^{1}

$S^1_2$

— Andrej Bauer

@Neel, thực sự là luận điểm của Emil " Nguyên tắc chim bồ câu yếu và tính toán ngẫu nhiên " là về việc chính thức hóa các thuật toán xác suất. Một tiên đề chính cần thiết để chính thức hóa một số trong số này dường như là tính gần đúng mà không phải là một phần của

hoặc

. Tôi nghĩ rằng có thể đơn giản hơn để bám vào trường hợp đa thời gian xác định với

và

T V^{0}

$TV^0$

S_{2}^{1}

$S^1_2$

T V^{0}

$TV^0$

S_{2}^{1}

$S^1_2$

— Kaveh

ps: Sẽ thú vị hơn nếu chúng ta có thể chứng minh rằng tính chính xác / hiệu quả của các thuật toán là không thể chứng minh được trong các lý thuyết này, hoặc ít nhất là tương đương với các tuyên bố được cho là không thể chứng minh được trong chúng. Tuy nhiên, yêu cầu đó có lẽ là quá nhiều với những gì chúng ta biết hiện tại.

— Kaveh

@Neel, hầu hết các xác suất có liên quan có thể được thực hiện trong các hệ thống đặt hàng đầu tiên vì bạn không bao giờ thực sự cần biết xác suất chính xác của một sự kiện, bạn thường chỉ cần so sánh xác suất đó với các số hữu tỷ nhất định.

— François G. Dorais

Câu trả lời:

Đây là ý tưởng tương tự như câu trả lời của Andrej nhưng có nhiều chi tiết hơn.

$P(x)$ $\Sigma^b_1$

S_{2}^{1} ⊢ \neg P (x) \to (\exists y_{1}, y_{2}) (1 < y_{1}, y_{2} < x \land x = y_{1} y_{2})

$S^1_2 \vdash \lnot P(x) \to (\exists y_1,y_2)(1 < y_1, y_2 < x \land x = y_1y_2)$ sau đó có một thuật toán bao thanh toán thời gian đa thức. Điều này cho phép một loạt các ví dụ từ bất kỳ thuật toán NP cho kiểm tra tính nguyên về cơ bản mang lại một ví dụ

công thức. Cụ thể, thử nghiệm nguyên thủy của AKS đưa ra một công thức như vậy (khi được đúc lại một cách thích hợp theo ngôn ngữ của

). Bài viết của Krajicek và Pudlak đưa ra nhiều ví dụ liên quan đến mật mã của loại này nhưng có trước AKS và những tiến bộ liên quan trong một vài năm.

Σ_{1}^{b}

$\Sigma^b_1$

S_{2}^{1}

$S^1_2$

— François G. Dorais
nguồn

$\mathrm{TC}^0$ $\mathit{VTC}^0$

$\mathit{TV}^0$ $\mathit{VTC}^0$ $\mathrm{TC}^0$

$\left(\frac an\right)$

$p$ $\left(\frac ap\right)=1$ $a$ $p$

$S^1_2$

Một lớp các ví dụ khác được đưa ra bằng các thuật toán kiểm tra và xác định hệ số cho các đa thức (chủ yếu trên các trường hữu hạn và trên các tỷ lệ hợp lý). Những điều này luôn luôn dựa vào định lý nhỏ của Fermat hoặc các khái quát của nó (trong số những thứ khác), và như vậy không được biết là có thể chính thức hóa trong một lý thuyết số học thích hợp. Thông thường, các thuật toán này là ngẫu nhiên, nhưng đối với các ví dụ về thời gian đa thức xác định, người ta có thể thực hiện bài kiểm tra tính không thể sửa đổi của Rabin hoặc thuật toán căn bậc hai của Tonelli (được xây dựng sao cho không đáp ứng bậc hai như một phần của đầu vào).

— Emil Jeřábek hỗ trợ Monica
nguồn

Bài kiểm tra tính nguyên thủy của AKS có vẻ như là một ứng cử viên tốt nếu Wikipedia được tin tưởng.

Tuy nhiên, tôi mong muốn một ví dụ như vậy sẽ khó tìm thấy. Bằng chứng hiện tại sẽ được thực hiện để chúng rõ ràng không được thực hiện trong số học bị ràng buộc, nhưng chúng có thể sẽ "thích nghi" với số học bị ràng buộc với nhiều nỗ lực hơn (thường là nhiều hơn).

— Andrej Bauer
nguồn

S_{2}^{1}

$S^1_2$

S_{2}^{1}

$S^1_2$

S_{2}^{1}

$S^1_2$

Có một bài báo tuyệt vời của Krajicek và Pudlak đưa ra một loạt các ví dụ khác: karlin.mff.cuni.cz/~krajicek/j-crypto.ps

— François G. Dorais

@ François, tại sao không đăng một câu trả lời? :)

— Kaveh

Vì vậy, tôi nhận được số lượng upvote cao nhất để đưa ra dự đoán may mắn sớm, trong khi những người khác thực sự biết chuyện gì đang xảy ra. Toán học cũng giống như MTV.

— Andrej Bauer