Công thức 3CNF bị hạn chế: đếm các bài tập thỏa mãn (cả modulo và modulo )

Hãy xem xét một công thức 3CNF Monotone có cả hai hạn chế bổ sung sau:

• Mỗi biến xuất hiện trong đúng mệnh đề.$2$
• Cho mệnh đề bất kỳ , chúng chia sẻ tối đa biến.$2$$1$

Tôi muốn biết làm thế nào là khó khăn để đếm các bài tập thỏa mãn của một công thức như vậy.

Cập nhật 06/04/2013 12:55

Tôi cũng muốn biết mức độ khó của việc xác định tính chẵn lẻ của số lượng bài tập thỏa mãn.

Cập nhật 11/04/2013 22:40

Điều gì xảy ra nếu, ngoài các hạn chế được mô tả ở trên, chúng tôi cũng giới thiệu cả hai hạn chế sau:

• Công thức là phẳng.
• Công thức là lưỡng cực.

Cập nhật 16/04/2013 23:00

Mỗi bài tập thỏa mãn tương ứng với một bìa cạnh của đồ thị . Sau khi tìm kiếm rộng rãi, bài báo liên quan duy nhất tôi có thể tìm thấy khi đếm bìa là bài thứ 3 đã được đề cập trong câu trả lời của Yuval. Ở phần đầu của bài báo như vậy, các tác giả cho biết "Chúng tôi bắt đầu nghiên cứu lấy mẫu (và câu hỏi liên quan đến việc đếm) của tất cả các bìa cạnh của đồ thị" . Tôi rất ngạc nhiên rằng vấn đề này đã nhận được rất ít sự chú ý (so với việc đếm các đỉnh đỉnh, được nghiên cứu rộng rãi và hiểu rõ hơn nhiều, đối với một số lớp biểu đồ). Chúng tôi không biết liệu đếm bìa có phải là . Chúng tôi không biết liệu xác định tính chẵn lẻ của số lượng nắp cạnh có phải là$3$$\#P$$\oplus P$-hard, một trong hai.

Cập nhật 09/06/2013 07:38

Xác định tính chẵn lẻ của số lượng nắp cạnh là , kiểm tra câu trả lời bên dưới.$\oplus P$

Trong bất kỳ biểu đồ nào, tính chẵn lẻ của số lượng nắp đỉnh bằng với độ chẵn của số lượng nắp cạnh.

Để xem tại sao, hãy kiểm tra câu trả lời này và quan sát mức độ tương đương củabằng với mức tương đương của , lần lượt bằng với mức tương đương của , đó là số lượng bìa cạnh.$|C|$$\Delta_{|V|} = O_{|V|} - E_{|V|}$$O_{|V|} + E_{|V|}$

Tính toán tính chẵn lẻ của số lượng nắp đỉnh là P-hard: do đó tính toán tính chẵn lẻ của số lượng nắp cạnh cũng là P-hard.$\oplus$$\oplus$

Ít nhất nửa sau của câu hỏi đã được giải quyết.

Vấn đề của bạn có lẽ là # P-đầy đủ, mặc dù tôi không thể tìm thấy nó trong tài liệu.

Một cách khác để nêu rõ vấn đề của bạn là "# 3-thường-cạnh-bìa". Đưa ra một công thức, xây dựng một biểu đồ trong đó mỗi mệnh đề tương ứng với một đỉnh và mỗi biến tương ứng với một cạnh. Vì công thức là 3CNF, đồ thị là 3 thường xuyên (hoặc có mức 3 tối đa, tùy thuộc vào định nghĩa). Hơn nữa, đồ thị là đơn giản. Một nhiệm vụ thỏa mãn cũng giống như một bìa cạnh.

Dưới đây là một vài vấn đề liên quan:

• # 1-Ex3MonoSat là # P-hoàn thành . Điều này giống như vấn đề của bạn, chỉ có một giải pháp thỏa mãn phải thỏa mãn chính xác một biến trong mỗi mệnh đề.
• Đếm số lượng đỉnh đỉnh trong đồ thị phẳng 3 thông thường là # P-hoàn thành .
• Có một FPRAS cho nắp số 3 cạnh thông thường . Điều này cho thấy các tác giả tin rằng vấn đề là khó khăn.