Sự khác biệt giữa các mũi tên và các đối tượng theo cấp số nhân trong một thể loại đóng cartesian là gì?

Trong một Descartes Closed Category ( CCC ), có tồn tại cái gọi là đối tượng theo cấp số nhân , viết . Khi một CCC được coi là một mô hình của đơn giản-gõ -calculus , một đối tượng hàm mũ như đặc trưng cho không gian chức năng từ loại đến loại . Một đối tượng theo cấp số nhân được giới thiệu bởi một mũi tên gọi là và bị loại bỏ bởi một mũi tên gọi là (không may gọi làλ B A A B c u r r y : ( A × B → C ) → ( A → C B ) a p p l y : C B × B → C e v a $B^A$$\lambda$$B^A$$A$$B$$curry : (A \times B \rightarrow C) \rightarrow (A \rightarrow C^B)$$apply : C^B \times B \rightarrow C$$eval$trong hầu hết các văn bản về lý thuyết thể loại). Câu hỏi của tôi ở đây là: có sự khác biệt nào giữa đối tượng hàm mũ và mũi tên không? B → $C^B$$B \rightarrow C$

Một là nội bộ và một là bên ngoài .

Một thể loại bao gồm các đối tượng và hình thái. Khi chúng tôi viết chúng tôi có nghĩa là là một cấu xạ từ đối tượng đối tượng . Chúng tôi có thể thu thập tất cả các hình thái từ đến thành một tập hợp các hình thái , được gọi là "tập hợp hom". Tập hợp này không phải là một đối tượng của , mà là một đối tượng của danh mục các tập hợp. f : A → B f A B A B H o m C ( A , B ) $\mathcal{C}$$f : A \to B$$f$$A$$B$$A$$B$ $\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(A,B)$$\mathcal{C}$

Ngược lại, theo cấp số nhân là một đối tượng trong . Đó là cách " nghĩ về các bộ hom của nó". Do đó, phải được trang bị bất kỳ cấu trúc nào mà các đối tượng của có.C C B A $B^A$$\mathcal{C}$$\mathcal{C}$$B^A$$\mathcal{C}$

Ví dụ, chúng ta hãy xem xét các loại không gian tôpô. Khi đó là một bản đồ liên tục từ đến và là tập hợp của tất cả các bản đồ liên tục như vậy. Nhưng , nếu nó tồn tại, là một không gian tôpô! Bạn có thể chứng minh rằng các điểm của là (trong thư song ánh với) các bản đồ liên tục từ đến . Trên thực tế, điều này nói chung: các hình thái (là "các điểm toàn cầu của ") nằm trong sự tương ứng phỏng đoán với các hình thái , bởi vì X Y H o m T o p ( X , Y ) Y X Y X X Y 1 → B Một B Một Một → B H o m ( 1 , B Một ) ≅ H o m ( 1 × Một , B ) ≅ H o m ( A , $f : X \to Y$$X$$Y$$\mathrm{Hom}_{\mathsf{Top}}(X,Y)$$Y^X$$Y^X$$X$$Y$$1 \to B^A$$B^A$$A \to B$

$$\mathrm{Hom}(1, B^A) \cong \mathrm{Hom}(1 \times A, B) \cong \mathrm{Hom}(A, B).$$

Đôi khi chúng ta có được cẩu thả về cách viết như trái ngược với . Trên thực tế, thường hai từ này là từ đồng nghĩa, với cách hiểu rằng có nghĩa là "ồ nhân tiện ở đây tôi có nghĩa là ký hiệu khác, vì vậy điều này có nghĩa là là một hình thái từ đến " Ví dụ: khi bạn viết ra hình thái bạn thực sự nên viết Vì vậy, chúng tôi không thể thực sự đổ lỗi cho bất cứ ai đã nhầm lẫn ở đây. Bên trong được sử dụng theo nghĩa bên trong và bên ngoài ở bên ngoài. Một → B f : A → B f Một B cà ri : ( Một × B → C ) → ( A → C B ) cà ri : C Một × B → ( C B ) Một . $B^A$$A \to B$$f : A \to B$$f$$A$$B$

$$\textit{curry}: (A \times B \to C) \to (A \to C^B)$$ $$\textit{curry}: C^{A \times B} \to {(C^B)}^A.$$ $\to$

Nếu chúng ta làm việc đơn giản bằng cách gõ -calculus thì mọi thứ đều là nội bộ, có thể nói là như vậy. Chúng tôi chỉ có một bản án đánh máy cơ bản " có kiểu ", viết như . Bởi vì ở đây là một loại và các loại tương ứng với các đối tượng, nên rõ ràng chúng ta phải xen vào bất kỳ số mũ và mũi tên nào trong theo nghĩa bên trong. Vì vậy, nếu chúng ta hiểu là một phán đoán đánh máy trong -calculus, tất cả các mũi tên đều là nội bộ, vì vậy đây là giống như Tôi hy vọng bây giờ rõ ràng tại sao mọi người sử dụng$\lambda$$t$$B$$t : B$$B$$B$

$$\textit{curry}: (A \times B \to C) \to (A \to C^B)$$ $\lambda$ $$\textit{curry}: ((C^B)^A)^{C^{A \times B}}.$$ $B^A$và là từ đồng nghĩa.$A \to B$