Đánh bộ với một phân họ

Hãy để là một gia đình của tập con -element về một vũ trụ hữu hạn của các đối tượng. Một họ gồm các tập con của , với , là một - tập hợp của nếu với mỗi tồn tại ít nhất một tập như vậy rằng .$F$$d$$U$$H$$k$$U$$1 \le k < d$$(k,d)$$F$$V \in F$$W \in H$$W \subset V$

Với một bộ sưu tập như trên, - đánh-bộ vấn đề là để tìm một nhỏ -hitting-set cho .$F$$(k,d)$H $(k,d)$$H$$F$

Khi chúng ta có vấn đề nhấn-set tiêu chuẩn và có rất nhiều kết quả trước đó cho nó. Tôi biết các phân tích được tham số hóa cho trường hợp với và (xem Brankovic và Fernau chẳng hạn).k = 1 d ≤ $k = 1$$k = 1$$d \le 3$

Có ai biết bất kỳ kết quả nào liên quan đến độ phức tạp hoặc độ cứng của xấp xỉ của bài toán đặt với:$(k,d)$

1. d = $k = 1$ và ?$d = 4$
2. 1 < k < $d = 4$ và ?$1 < k < d$
3. $1 \le k < d$ và tùy ý?$d$

Đối với một hằng số các -hitting bộ vấn đề không khó khăn hơn so với bản gốc là -hitting bộ (tức là ) theo quan điểm của cả hai xấp xỉ và sự phức tạp parametrized. Có một sự giảm đơn giản từ -HS xuống -HS. Đối với một phiên bản của vấn đề đầu tiên, chúng ta có một thể hiện của của vấn đề thứ hai trong đó mọi phần tử tương ứng với tập hợp con của và mỗi tập hợp trong tương ứng với một tập hợp trong theo cùng một cách (nghĩa là ánh xạ tất cả( k , d ) d k = 1 k d d ( U , F , d , k ) ( U ' , F ' , d ) e ∈ U ' k U F ' F k U U ' k O ( n k$d$$(k,d)$$d$$k=1$$kd$$d$$(U,\mathcal{F},d,k)$$(U',\mathcal{F'},d)$$e \in U'$$k$$U$$\mathcal{F'}$$\mathcal{F}$$k$ tập hợp con của thành các phần tử trong ). Vì là hằng số nên kích thước của thể hiện mới là hàm đa thức có kích thước của thể hiện đầu tiên ( ). Tập đánh cho vấn đề thứ nhất tương ứng với tập đánh có cùng số lượng cho bài toán thứ hai và ngược lại, do đó mức giảm là bảo toàn xấp xỉ.$U$$U'$$k$$O(n^k)$