Những vấn đề lớn chưa được giải quyết trong khoa học máy tính lý thuyết?

Wikipedia chỉ liệt kê hai vấn đề trong "những vấn đề chưa được giải quyết trong khoa học máy tính" :

• P = NP?
• Sự tồn tại của các hàm một chiều

Các vấn đề lớn khác cần được thêm vào danh sách này là gì?

Quy tắc:

1. Chỉ có một vấn đề cho mỗi câu trả lời
2. Cung cấp một mô tả ngắn gọn và bất kỳ liên kết có liên quan

Phép nhân của với ma trận có thể được thực hiện trong các phép toán không?n O ( n 2$n$$n$$O(n^2)$

Số mũ của giới hạn trên được biết đến nhiều nhất thậm chí có một biểu tượng đặc biệt, . Hiện tại là khoảng 2,376, theo thuật toán Coppersmith-Winograd . Một tổng quan đẹp về tình trạng của nghệ thuật là Sara Robinson, Hướng tới một thuật toán tối ưu cho phép nhân ma trận , SIAM News, 38 (9), 2005.$\omega$$\omega$

Cập nhật: Andrew Stothers (trong luận án năm 2010 ) đã chỉ ra rằng , được cải thiện bởi Virginia Vassilevska Williams (trong bản in tháng 7 năm 2014 ) thành . Cả hai giới hạn này đều có được bằng cách phân tích cẩn thận về kỹ thuật Coppersmith-Winograd cơ bản.ω < $\omega < 2.3737$$\omega < 2.372873$

Cập nhật thêm (ngày 30 tháng 1 năm 2014): François Le Gall đã chứng minh rằng trong một bài báo được xuất bản trong ISSAC 2014 ( bản in trước arXiv ).$\omega < 2.3728639$

Là đồ thị đẳng cấu trong P?

Sự phức tạp của đồ thị đẳng cấu (GI) là một câu hỏi mở trong nhiều thập kỷ. Stephen Cook đã đề cập đến nó trong bài viết năm 1971 về NP-tính hoàn chỉnh của SAT .

Việc xác định xem hai biểu đồ có phải là đẳng cấu hay không thường có thể được thực hiện nhanh chóng, ví dụ như bằng phần mềm như nautyvà saucy. Mặt khác, Miyazaki đã xây dựng các lớp các trường hợp có nautythể chứng minh được thời gian theo cấp số nhân.

Đọc và Corneil đã xem xét nhiều nỗ lực để giải quyết sự phức tạp của GI cho đến thời điểm đó: Bệnh đồng hình đồ thị , Tạp chí lý thuyết đồ thị 1 , 339 Câu363, 1977.

GI không được biết là nằm trong co-NP, nhưng có một giao thức ngẫu nhiên đơn giản cho đồ thị không đẳng cấu (GNI). Do đó GI (= co-GNI) được cho là "gần với" NP co-NP.${}\cap{}$

Mặt khác, nếu GI hoàn thành NP, thì Hệ thống phân cấp đa thức sụp đổ. Vì vậy, GI dường như không hoàn thành NP. (Boppana, Håstad, Zachos, co-NP có bằng chứng tương tác ngắn không?, IPL 25 , 127 Lời132, 1987)

Shiva Kintali có một cuộc thảo luận thú vị về sự phức tạp của GI tại blog của mình.

Laszlo Babai đã chứng minh rằng Đồng phân đồ thị đang trong thời gian phụ .

Sự phức tạp của bao thanh toán

Là bao thanh toán trong ?$\mathsf{P}$

• Hậu quả của việc bao thanh toán trong P?
• Là các vấn đề PRIMES, FACTORING được biết đến là P-hard?
• Hậu quả của bao thanh toán là NP-đầy đủ là gì?
• P với orory nhân tử nguyên
• Bằng chứng cho hệ số nguyên là trong P (trên MO )

P = BPP?

Có một quy tắc xoay vòng cho thuật toán đơn giản mang lại thời gian chạy đa thức trong trường hợp xấu nhất không? Tổng quát hơn, có thuật toán đa thức mạnh nào cho lập trình tuyến tính không?

Các mũ thời gian giả thuyết (ETH) khẳng định rằng giải quyết SAT đòi hỏi mũ, 2 ^{Ω (n)} thời gian. ETH ngụ ý nhiều điều, ví dụ SAT không nằm trong P, vì vậy ETH ngụ ý P ≠ NP. Xem Impagliazzo, Paturi, Zane, vấn đề nào có độ phức tạp theo cấp số nhân? , JCSS 63, 512 Gian530, 2001.

ETH được nhiều người tin tưởng, nhưng có khả năng khó chứng minh, vì nó bao hàm nhiều sự tách lớp phức tạp khác.

Immerman và Vardi cho thấy logic điểm cố định nắm bắt PTIME trên lớp cấu trúc có trật tự . Một trong những vấn đề mở lớn nhất trong lý thuyết phức tạp mô tả là liệu sự phụ thuộc vào thứ tự có thể được loại bỏ hay không:

Có logic nào nắm bắt PTIME không?

Nói một cách đơn giản, PTIME bắt logic là ngôn ngữ lập trình cho các vấn đề về đồ thị hoạt động trực tiếp trên cấu trúc đồ thị và không có quyền truy cập vào mã hóa của các đỉnh và cạnh, sao cho giữ như sau:

1. bất kỳ chương trình chính xác nào cũng mô hình hóa một vấn đề đồ thị tính toán thời gian đa thức và
2. bất kỳ bài toán đồ thị tính toán thời gian đa thức nào cũng có thể được mô hình hóa bằng một chương trình đúng về mặt cú pháp.

Nếu không có logic nào bắt được PTIME, thì vì NP bị bắt bởi logic thứ hai tồn tại. Một logic bắt PTIME sẽ cung cấp một cuộc tấn công có thể xảy ra với P vs NP.$P \neq NP$

Xem blog của Lipton để biết một cuộc thảo luận không chính thức và M. Grohe: The Quest for a Logic Capturing PTIME (LICS 2008) để có một cuộc khảo sát kỹ thuật hơn.

Là những trò chơi độc đáo phỏng đoán có đúng không?
Và: Cho rằng có các thuật toán xấp xỉ thời gian theo cấp số mũ cho Trò chơi duy nhất , vấn đề cuối cùng nằm ở đâu trong bối cảnh phức tạp?

Vĩnh viễn so với quyết định

Câu hỏi thường trực so với câu hỏi xác định là thú vị vì hai sự thật. Đầu tiên, tính vĩnh viễn của một ma trận đếm số lượng khớp hoàn hảo trong đồ thị lưỡng cực. Do đó, vĩnh viễn của một ma trận như vậy là # P-Complete. Đồng thời, định nghĩa về vĩnh viễn rất gần với định nghĩa, cuối cùng chỉ khác nhau vì một thay đổi dấu hiệu đơn giản. Các tính toán xác định được biết đến là ở P. Nghiên cứu sự khác nhau giữa vĩnh viễn và xác định và có bao nhiêu phép tính xác định được yêu cầu để tính toán nói vĩnh viễn về P so với #P.

Chúng ta có thể tính toán FFT trong thời gian ít hơn nhiều so với thời gian không?$O(n \log n)$

Trong cùng một (rất) chung, có rất nhiều câu hỏi về việc cải thiện thời gian chạy của nhiều vấn đề hoặc thuật toán cổ điển: ví dụ: có thể giải quyết tất cả các cặp đường ngắn nhất (APSP) trong thời gian?$O(n^{3-\epsilon})$

Chỉnh sửa: APSP chạy kịp thời "trong đó các phép cộng và so sánh thực là chi phí đơn vị (nhưng tất cả các hoạt động khác đều điển hình chi phí logarit) ": http://arxiv.org/pdf/1312.6680v2.pdf$(\frac{n^3}{2^{\Omega(log n)^{1/2}}})$

Các phỏng đoán tối ưu năng động cho cây splay.

Hay nói chung hơn: Có bất kỳ cây tìm kiếm nhị phân động trực tuyến O (1) nào không?

Một thuật toán xác định thời gian tuyến tính cho bài toán cây bao trùm tối thiểu .

NP so với đồng NP

Câu hỏi NP so với co-NP rất thú vị vì NP ≠ co-NP ngụ ý P ≠ NP (vì P được đóng dưới phần bù). Nó cũng liên quan đến "tính hai mặt": phân tách giữa việc tìm / xác minh các ví dụ và tìm / xác minh các mẫu phản. Trên thực tế, việc chứng minh rằng một câu hỏi nằm ở cả NP và đồng NP là bằng chứng tốt đầu tiên của chúng tôi rằng một vấn đề dường như nằm ngoài P cũng có khả năng không phải là NP-Complete.

Có vấn đề nào không thể giải quyết hiệu quả bằng máy tính song song không?

Các vấn đề là P-Complete không được biết là song song. Các bài toán hoàn chỉnh bao gồm Horn-SAT và Lập trình tuyến tính. Nhưng việc chứng minh rằng đây là trường hợp sẽ yêu cầu tách một số khái niệm về các vấn đề song song (như NC hoặc LOGCFL) khỏi P.

Thiết kế bộ xử lý máy tính đang tăng số lượng đơn vị xử lý, với hy vọng rằng điều này sẽ mang lại hiệu suất được cải thiện. Nếu các thuật toán cơ bản như Lập trình tuyến tính vốn không thể song song, thì có những hậu quả đáng kể.

Có phải tất cả các tautology mệnh đề có bằng chứng Frege kích thước đa thức?

Có thể cho rằng vấn đề mở lớn về độ phức tạp của bằng chứng : chứng minh giới hạn kích thước siêu đa thức thấp hơn trên các bằng chứng mệnh đề (còn gọi là bằng chứng Frege).

Một cách không chính thức, một hệ thống chứng minh Frege chỉ là một hệ thống chứng minh mệnh đề tiêu chuẩn để chứng minh các tautology mệnh đề (người ta học trong một khóa logic cơ bản), có các tiên đề và quy tắc khấu trừ, trong đó các dòng chứng minh được viết dưới dạng công thức. Các kích thước của một bằng chứng Frege là số ký tự cần thiết để ghi lại bằng chứng.

Sau đó, vấn đề hỏi liệu có một gia đình của các công thức tautological mệnh đề mà không có đa thức sao cho kích thước bằng chứng Frege tối thiểu của nhiều nhất là , với mọi (trong đó biểu thị kích thước của công thức ).$(F_n)_{n=1}^\infty$$p$$F_n$$p(|F_n|)$$n=1,2,\ldots$$|F_n|$$F_n$

Định nghĩa chính thức của một hệ thống bằng chứng Frege

Định nghĩa (Quy tắc Frege) Quy tắc Frege là một chuỗi các công thức mệnh đề , với , được viết là . Trong trường hợp , quy tắc Frege được gọi là sơ đồ tiên đề . Một công thức được cho là bắt nguồn từ quy tắc từ nếu là tất cả các trường hợp thay thế của , đối với một số phép gán cho các biến (nghĩa là, có công thức $A_0(\overline x),\ldots,A_k(\overline x)$$k \le 0$$\frac{A_1(\overline x), \ldots,A_k(\overline x)}{A_0(\overline x)}$$k = 0$$F_0$$F_1,\ldots,F_k$$F_0,\ldots,F_k$$A_1,\ldots,A_k$$\overline x$$B_1,\ldots,B_n$ sao cho với tất cả . Quy tắc Frege được gọi là âm thanh nếu bất cứ khi nào một phép gán thỏa mãn các công thức ở phía trên , thì nó cũng thỏa mãn công thức ở phía dưới .$F_i = A_i(B_1/x_1,\ldots,B_n/x_n),$$i=0,\ldots,k$$A_1,\ldots,A_k$$A_0$

Định nghĩa (Bằng chứng Frege) Với một tập hợp các quy tắc Frege, bằng chứng Frege là một chuỗi các công thức sao cho mọi dòng chứng minh là một tiên đề hoặc được lấy từ một trong các quy tắc Frege đã cho từ các dòng chứng minh trước đó. Nếu chuỗi chấm dứt với công thức , sau đó chứng minh được cho là một bằng chứng về . Các kích thước của một bằng chứng Frege là tổng kích thước của tất cả các công thức trong các giấy tờ chứng minh.$A$$A$

Một hệ thống bằng chứng được cho là implicationally hoàn chỉnh nếu cho tất cả các thiết lập công thức , nếu ngữ nghĩa bao hàm , sau đó là một bằng chứng của sử dụng (có thể) tiên đề từ . Một hệ thống bằng chứng được cho là âm thanh nếu nó thừa nhận bằng chứng chỉ tautology (khi không sử dụng các tiên đề phụ, như trong ở trên).$T$$T$$F$$F$$T$$T$

Định nghĩa (Hệ thống chứng minh Frege) Với một ngôn ngữ mệnh đề và tập hữu hạn của các quy tắc Frege âm thanh, chúng tôi nói rằng là một hệ thống chứng minh Frege nếu hoàn toàn ngụ ý.$P$$P$$P$

Lưu ý rằng bằng chứng Frege luôn có âm thanh do các quy tắc Frege được coi là âm thanh. Chúng ta không cần phải làm việc với một hệ thống chứng minh Frege cụ thể, vì kết quả cơ bản trong độ phức tạp chứng minh nói rằng mỗi hai hệ thống chứng minh Frege, thậm chí trên các ngôn ngữ khác nhau, đều tương đương về mặt đa thức [Reckhow, luận án tiến sĩ, Đại học Toronto, 1976].

Thiết lập giới hạn thấp hơn trên bằng chứng Frege có thể được xem là một bước để chứng minh , vì nếu điều này là đúng thì không có hệ thống chứng minh mệnh đề nào (bao gồm Frege) có thể có bằng chứng kích thước đa thức cho tất cả các tautology.$NP \neq coNP$

Chúng ta có thể tính khoảng cách chỉnh sửa giữa hai chuỗi có độ dài trong thời gian bậc hai, tức là trong thời gian cho một số không?$n$$O(n^{2-\epsilon})$$\epsilon>0$

Có các thuật toán thời gian phụ thực sự (có nghĩa là thời gian cho một số hằng số ) cho các vấn đề khó 3SUM không?$O(n^{2-\delta})$$\delta>0$

Vào năm 2014, Grønlund và Pettie đã mô tả một thuật toán xác định cho chính 3SUM chạy trong thời gian . Mặc dù đây là một kết quả chính, sự cải thiện so với chỉ là logarit (phụ). Hơn nữa, không có thuật toán phụ tương tự nào được biết đến với hầu hết các vấn đề khó 3SUM khác.O ( n 2$O(n^2/(\log n/\log \log n)^{2/3})$$O(n^2)$

BQP = P?

Ngoài ra: NP có trong BQP?

Tôi biết điều này đã vi phạm các quy tắc khi có hai câu hỏi trong câu trả lời, nhưng khi được thực hiện với câu hỏi P vs NP, chúng không nhất thiết phải là câu hỏi độc lập.

1. Phỏng đoán đẳng cấu. (Có phải tất cả các vấn đề hoàn thành NP là vấn đề "giống nhau" không?)
2. Mật mã có thể dựa trên một vấn đề hoàn chỉnh NP không?

và, xa hơn một chút so với dòng chính:


3. Kích thước của NP trong EXP là bao nhiêu?

(Một cách không chính thức, nếu bạn có tất cả các vấn đề về EXP trên một bảng và bạn chọn một cách ngẫu nhiên một cách ngẫu nhiên, thì xác suất mà vấn đề bạn chọn cũng nằm trong NP là gì? Câu hỏi này đã được chính thức hóa bằng khái niệm về biện pháp giới hạn tài nguyên . Được biết, P có số đo bằng 0 trong EXP, nghĩa là, vấn đề bạn nhặt được từ bảng gần như chắc chắn không có ở P.)

Tính gần đúng của TSP số liệu là gì? Thuật toán của Christofides từ năm 1975 là thuật toán ước lượng thời gian đa thức (3/2). Có phải NP-khó để làm tốt hơn?

• Xấp xỉ TSP số liệu trong phạm vi nhỏ hơn 220/219 là NP-hard (Papadimitriou và Vempala, 2006 [PS] ). Theo hiểu biết của tôi đây là giới hạn thấp nhất được biết đến.

• Có một số bằng chứng cho thấy ràng buộc thực tế có thể là 4/3 (Carr và Vempala, 2004 [Phiên bản miễn phí] [Phiên bản tốt] ).

• Giới hạn trên về tính gần đúng đã được hạ xuống gần đây đến (Phần lớn năm 2011 "13/9 - tính gần đúng cho TSP đồ họa" [ PDF ])$13/9$

Đưa ra một hàm rõ ràng với độ phức tạp theo cấp số nhân.

Shannon đã chứng minh vào năm 1949 rằng nếu bạn chọn một hàm Boolean một cách ngẫu nhiên, nó có độ phức tạp theo cấp số nhân với xác suất gần như một.

Giới hạn dưới tốt nhất cho hàm Boolean rõ ràng chúng ta có cho đến nay là bởi K. Iwama, O. Lachish, H Morizumi và R. Raz.5 n - o ( n $f:\{0,1\}^n \to \{0,1\}$$5n - o(n)$

Sự phức tạp truy vấn kiểm tra tam giác freeness trong đồ thị dày đặc (ví dụ, đồ thị tam giác-miễn phí phân biệt từ những là gì -far từ là tam giác-free)? Giới hạn trên đã biết là một tháp có số mũ trong , trong khi giới hạn dưới được biết đến chỉ là siêu đa thức nhẹ trong . Đây là một câu hỏi khá cơ bản trong lý thuyết đồ thị cực trị / tổ hợp phụ gia đã được mở trong gần 30 năm.1 / ε 1 /$\epsilon$$1/\epsilon$$1/\epsilon$

Tách NEXP khỏi BPP. Mọi người có xu hướng tin rằng BPP = P, nhưng không ai có thể tách NEXP khỏi BPP.

Tôi biết OP chỉ yêu cầu một vấn đề cho mỗi bài đăng, nhưng các hội nghị RTA (Viết lại kỹ thuật và ứng dụng của họ) 1 và TLCA (Typed Lambda Tính và ứng dụng của họ) đều duy trì danh sách các vấn đề mở trong các lĩnh vực của họ 2 . Các danh sách này khá hữu ích, vì chúng cũng bao gồm các con trỏ đến công việc trước đó được thực hiện khi cố gắng giải quyết các vấn đề này.

Derandomization của vấn đề kiểm tra nhận dạng đa thức

Vấn đề là như sau: Cho một mạch số học tính toán một đa thức , có bằng 0 không?$P$$P$

Vấn đề này có thể được giải quyết trong thời gian đa thức ngẫu nhiên nhưng không được biết là có thể giải quyết được trong thời gian đa thức xác định.

Liên quan là của Shub và Smale$\tau$$P$$\tau$$\tau(P)$$P$$1$$P\in\mathbb Z[x]$$z(P)$

$c$$P\in\mathbb Z[x]$$z(P)\le (1+\tau(P))^c$

Có một định lý PCP lượng tử?

Có rất nhiều vấn đề mở trong tính toán lambda (đánh máy và tháo gỡ). Xem danh sách các vấn đề mở TLCA để biết chi tiết; đó cũng là một phiên bản PDF đẹp mà không có khung.

Tôi đặc biệt thích vấn đề # 5:

Có những thuật ngữ không thể hiểu được trong nhưng có thể đánh máy được với sự trợ giúp của các loại đệ quy tích cực?$F_ω$

Là vấn đề logarit rời rạc trong P?

Hãy để là một nhóm cyclic cấp và mà là một máy phát điện của . Vấn đề tìm sao cho được gọi là bài toán logarit rời rạc (DLP). Có một thuật toán (cổ điển) để giải quyết DLP trong thời gian đa thức trong trường hợp xấu nhất về số bit của không?$G$$q$$g,h \in G$$g$$G$$n \in \mathbb{N}$$g^n = h$$q$

Có những biến thể của DLP được cho là dễ dàng hơn, nhưng vẫn chưa được giải quyết. Bài toán Diffie-Hellman tính toán (CDH) yêu cầu tìm cho và . Các ra quyết định vấn đề Diffie-Hellman (DDH) yêu cầu quyết định, cho , nếu . g , g $g^{a b}$$g, g^a$$g^b$$g, g^a, g^b, h \in G$$g^{a b} = h$

Rõ ràng DLP khó nếu CDH cứng và CDH cứng nếu DDH cứng, nhưng không có sự giảm thiểu ngược nào được biết, ngoại trừ một số nhóm. Giả định rằng DDH khó là chìa khóa cho tính bảo mật của một số hệ thống mật mã, chẳng hạn như ElGamal và Cramer-Shoup .

Trò chơi chẵn lẻ là trò chơi đồ thị có thời lượng vô hạn hai người chơi, có vấn đề quyết định tự nhiên là ở NP và đồng NP, và có vấn đề tìm kiếm tự nhiên trong PPAD và PLS.

http://en.wikipedia.org/wiki/Parity_game

Trò chơi chẵn lẻ có thể được giải quyết trong thời gian đa thức?

(Nói chung, một câu hỏi mở lớn đã có từ lâu trong lập trình toán học là liệu các vấn đề bổ sung tuyến tính ma trận P có thể được giải quyết trong thời gian đa thức không?)

Khu vực phức tạp tham số hóa có tải trọng riêng của các vấn đề mở.

Xem xét các vấn đề quyết định

• đã cho có tồn tại một đỉnh đỉnh có kích thước cho đồ thị không?$(G,k)$$k$$G$
• đã cho có tồn tại sự phân công trọng số cho công thức không?$(F,k)$$k$$F$
• đã cho có tồn tại một cụm kích thước trong đồ thị không?$(G,k)$$k$$G$
• Vân vân...

Nhiều, NHIỀU, các vấn đề tổ hợp tồn tại trong hình thức này. Độ phức tạp tham số coi một thuật toán là "hiệu quả" nếu thời gian chạy của nó bị giới hạn trên bởi trong đó là một hàm tùy ý và là hằng số độc lập với . Trong thông báo so sánh rằng tất cả các vấn đề như vậy có thể được giải quyết dễ dàng trong . f c k n O ( k $f(k)n^c$$f$$c$$k$$n^{O(k)}$

Khung này mô hình hóa các trường hợp mà chúng tôi đang tìm kiếm một cấu trúc tổ hợp nhỏ và chúng tôi có thể đủ khả năng chạy theo cấp số nhân đối với kích thước của giải pháp / nhân chứng .

Một vấn đề với thuật toán như vậy (ví dụ nắp đỉnh) được gọi là Tractable Parameter Tractable (FPT).

Độ phức tạp tham số là một lý thuyết trưởng thành và có cả nền tảng lý thuyết và sức hấp dẫn mạnh mẽ cho các ứng dụng thực tế. Các vấn đề quyết định thú vị cho lý thuyết như vậy tạo thành một hệ thống phân cấp các lớp có cấu trúc rất tốt với các vấn đề hoàn chỉnh tự nhiên:

Tất nhiên nó là mở nếu bất kỳ bao gồm như vậy là nghiêm ngặt hay không. Lưu ý rằng nếu thì SAT có thuật toán phụ (điều này không tầm thường). Câu lệnh cuối cùng kết nối độ phức tạp được tham số hóa với được đề cập ở trên.E T $FPT=W[1]$$ETH$

Cũng lưu ý rằng việc điều tra các sự sụp đổ như vậy không phải là một bài tập trống: chứng minh rằng tương đương để chứng minh rằng có một thuật toán có thể điều chỉnh tham số cố định để tìm -cliques.$W[1]=FPT$$k$