Có phải tất cả các tautology mệnh đề có bằng chứng Frege kích thước đa thức?
Có thể cho rằng vấn đề mở lớn về độ phức tạp của bằng chứng : chứng minh giới hạn kích thước siêu đa thức thấp hơn trên các bằng chứng mệnh đề (còn gọi là bằng chứng Frege).
Một cách không chính thức, một hệ thống chứng minh Frege chỉ là một hệ thống chứng minh mệnh đề tiêu chuẩn để chứng minh các tautology mệnh đề (người ta học trong một khóa logic cơ bản), có các tiên đề và quy tắc khấu trừ, trong đó các dòng chứng minh được viết dưới dạng công thức. Các kích thước của một bằng chứng Frege là số ký tự cần thiết để ghi lại bằng chứng.
Sau đó, vấn đề hỏi liệu có một gia đình của các công thức tautological mệnh đề mà không có đa thức sao cho kích thước bằng chứng Frege tối thiểu của nhiều nhất là , với mọi (trong đó biểu thị kích thước của công thức ).(Fn)∞n=1pFnp(|Fn|)n=1,2,…|Fn|Fn
Định nghĩa chính thức của một hệ thống bằng chứng Frege
Định nghĩa (Quy tắc Frege) Quy tắc Frege là một chuỗi các công thức mệnh đề , với , được viết là . Trong trường hợp , quy tắc Frege được gọi là sơ đồ tiên đề . Một công thức được cho là bắt nguồn từ quy tắc từ nếu là tất cả các trường hợp thay thế của , đối với một số phép gán cho các biến (nghĩa là, có công thức
A0(x¯¯¯),…,Ak(x¯¯¯)k≤0A1(x¯¯¯),…,Ak(x¯¯¯)A0(x¯¯¯)k=0F0F1,…,FkF0,…,FkA1,…,Akx¯¯¯B1,…,Bn sao cho với tất cả . Quy tắc Frege được gọi là âm thanh nếu bất cứ khi nào một phép gán thỏa mãn các công thức ở phía trên
, thì nó cũng thỏa mãn công thức ở phía dưới .Fi=Ai(B1/x1,…,Bn/xn),i=0,…,kA1,…,AkA0
Định nghĩa (Bằng chứng Frege) Với một tập hợp các quy tắc Frege, bằng chứng Frege là một chuỗi các công thức sao cho mọi dòng chứng minh là một tiên đề hoặc được lấy từ một trong các quy tắc Frege đã cho từ các dòng chứng minh trước đó. Nếu chuỗi chấm dứt với công thức , sau đó chứng minh được cho là một bằng chứng về . Các kích thước của một bằng chứng Frege là tổng kích thước của tất cả các công thức trong các giấy tờ chứng minh.AA
Một hệ thống bằng chứng được cho là implicationally hoàn chỉnh nếu cho tất cả các thiết lập công thức , nếu ngữ nghĩa bao hàm , sau đó là một bằng chứng của sử dụng (có thể) tiên đề từ . Một hệ thống bằng chứng được cho là âm thanh nếu nó thừa nhận bằng chứng chỉ tautology (khi không sử dụng các tiên đề phụ, như trong
ở trên).TTFFTT
Định nghĩa (Hệ thống chứng minh Frege) Với một ngôn ngữ mệnh đề và tập hữu hạn của các quy tắc Frege âm thanh, chúng tôi nói rằng là một hệ thống chứng minh Frege nếu hoàn toàn ngụ ý.PPP
Lưu ý rằng bằng chứng Frege luôn có âm thanh do các quy tắc Frege được coi là âm thanh. Chúng ta không cần phải làm việc với một hệ thống chứng minh Frege cụ thể, vì kết quả cơ bản trong độ phức tạp chứng minh nói rằng mỗi hai hệ thống chứng minh Frege, thậm chí trên các ngôn ngữ khác nhau, đều tương đương về mặt đa thức [Reckhow, luận án tiến sĩ, Đại học Toronto, 1976].
Thiết lập giới hạn thấp hơn trên bằng chứng Frege có thể được xem là một bước để chứng minh , vì nếu điều này là đúng thì không có hệ thống chứng minh mệnh đề nào (bao gồm Frege) có thể có bằng chứng kích thước đa thức cho tất cả các tautology.NP≠coNP