Đếm số lượng cây bao trùm nhanh

Gọi biểu thị số lượng cây bao trùm trong đồ thị có đỉnh. Có một thuật toán tính toán trong các phép toán số học . Thuật toán này là để tính toán , trong đó là Laplacian của và là ma trận chỉ gồm 's. Để biết thêm thông tin về thuật toán này, hãy xem Bigss - lý thuyết đồ thị đại số hoặc câu hỏi Math SE này . $t(G)$ $G$ $n$ $t(G)$ $O(n^3)$ $\frac{1}{n^2} \det(J + Q)$ $Q$ $G$ $J$ $1$

Tôi tự hỏi nếu có một số cách để tính $t(G)$ nhanh hơn. (Có, nhanh hơn thuật toán $O(n^3)$ cho tính toán xác định nhưng tôi quan tâm đến một số cách tiếp cận mới.)

Nó cũng quan tâm đến việc xem xét các họ đồ thị đặc biệt (phẳng, có thể?).

Ví dụ: đối với đồ thị tuần hoàn, $t(G)$ có thể được tính trong các phép toán số học $O(n \lg n)$ thông qua danh tính $t(G) = \frac{1}{n} \lambda_1 \dotsm \lambda_{n-1}$ , trong đó $\lambda_i$ là các giá trị riêng khác của ma trận Laplacian của $G$ , có thể được tính toán nhanh chóng cho các đồ thị tuần hoàn. (Biểu diễn hàng đầu tiên dưới dạng đa thức và sau đó tính toán nó trên gốc thứ $n$ của sự thống nhất - bước này sử dụng phép biến đổi Fourier rời rạc và có thể được thực hiện trong các phép toán số học $O(n \lg n)$ .)

Cảm ơn nhiều!

— Vội vàng
nguồn

Sergey, tôi đã cố gắng chỉnh sửa câu hỏi của bạn để cải thiện sự rõ ràng. Vui lòng kiểm tra xem tôi đã hiểu chính xác câu hỏi của bạn và không đưa ra bất kỳ lỗi nào.

— Tyson Williams

Dưới đây là một ví dụ tổng quát hơn của gia đình graph nơi tìm kiếm phức tạp có thể được thực hiện nhanh hơn: đồ thị Cayley cho các nhóm abel với máy phát điện thiết lập , sao cho . Chúng tôi biết rằng giá trị riêng của ma trận như vậy là , trong đó là các ký tự khác nhau của nhóm. Tất cả các nhân vật rất dễ tìm thấy (để biết thêm thông tin tham khảo bài viết này ) tính toán những ký tự là FFT chiều (xem Cormen et al chương về FFT), tức là có thể được thực hiện trong .

G

$G$

S

$S$

S^{- 1} = S

$S^{-1} = S$

\sum_{h \in S} χ (h)

$\sum_{h \in S} \chi (h)$

χ

$\chi$

n

$n$

O (n \lg n)

$O(n \lg n)$

— Finsky

Để biết thêm thông tin về đồ thị Cayley xem cuốn sách này .

— Finsky

Làm đại số tuyến tính với Laplacian chứ không phải là ma trận chung thường dễ dàng hơn. Tôi tự hỏi nếu điều này có thể có liên quan.

— Gil Kalai

Bạn có thể, xin vui lòng, cụ thể hơn, nếu có thể, cung cấp một số ví dụ, ngay cả khi nó không liên quan trực tiếp đến chủ đề trong cuộc thảo luận. Cảm ơn bạn.

— Finsky

Được biết , đối với của treewidth giới hạn, đa thức Tutte có thể được đánh giá tại bất kỳ bằng các phép toán số học . Nếu được kết nối, thì . $G$ $T(G;x,y)$ $(x,y)$ $O(n)$ $G$ $t(G)=T(G;1,1)$

— Radu Curticapean
nguồn