Độ phức tạp của việc lấy mẫu (xấp xỉ) biến đổi Fourier của hàm Boolean

Một điều mà máy tính lượng tử có thể làm (thậm chí có thể chỉ với các mạch lượng tử có độ sâu log log của BPP) là lấy mẫu gần đúng biến đổi Fourier của hàm Boolean giá trị trong P. $\pm 1$

Ở đây và bên dưới khi tôi nói về việc lấy mẫu biến đổi Fourier, ý tôi là chọn x theo . (Chuẩn hóa nếu cần thiết và khoảng). $|\hat f(x)|^2$

Chúng ta có thể mô tả lớp phức tạp, mà chúng ta có thể gọi P-FOURIER SAMPLING, lấy mẫu gần đúng các hàm Boolean của P không? Có những vấn đề được hoàn thành cho lớp học này?

Với một lớp X của các hàm Boolean, có thể nói về độ phức tạp tính toán, mà chúng ta có thể gọi là SAMPLING-X của việc lấy mẫu xấp xỉ biến đổi Fourier của các hàm trong X. (Tôi cho rằng nếu X là BQP thì X-SAMPLING là vẫn trong sức mạnh của máy tính lượng tử.)

Các ví dụ về X trong đó SAMPLING-X nằm trong P là gì? Có ví dụ thú vị nào khi SAMPLING-X là NP-hard không?

Có một số biến thể của vấn đề này cũng có thể thú vị. Về phía Fourier, thay vì mẫu gần đúng, chúng ta có thể nói về một vấn đề quyết định được kích hoạt (xác suất) bằng cách lấy mẫu gần đúng. Về mặt nguyên thủy, chúng ta có thể bắt đầu với một lớp phân phối xác suất X và hỏi mối quan hệ giữa khả năng lấy mẫu phân phối D trong X và xấp xỉ mẫu biến đổi Fourier (chuẩn hóa).

Tóm lại, những gì được biết về câu hỏi này.

Cập nhật: Martin Schwarz đã chỉ ra rằng nếu tất cả các hệ số Fourier chỉ tập trung vào số lượng mục nhập đa thức thì có thể trong BPP để ước tính các hệ số lớn này (và do đó cũng xấp xỉ mẫu.) Điều này quay trở lại Goldreich-Levin, và Kushilevitz-Mansour. Có các lớp hàm thú vị trong đó có một thuật toán đa thức xác suất để lấy mẫu xấp xỉ phía Fourier, trong đó các hệ số Fourier được trải rộng hơn nhiều hệ số đa thức?

Thêm sau: Hãy để tôi đề cập đến một vài vấn đề cụ thể.

1) Làm thế nào khó để lấy mẫu biến đổi Fourier của các hàm Boolean trong P.

a) Một câu hỏi mà Scott Aaronson đã đề cập trong một bình luận dưới đây là cho thấy rằng đây không phải là trong BPP. Hoặc một cái gì đó yếu hơn dọc theo dòng nếu nhiệm vụ này nằm trong BPP, một số sự sụp đổ đang xảy ra. (Scot phỏng đoán rằng đây là trường hợp.)

b) Một câu hỏi khác là chỉ ra rằng nhiệm vụ này khó đối với một số lớp phức tạp dựa trên lượng tử. Ví dụ, để chỉ ra rằng nếu bạn có thể thực hiện nhiệm vụ này, bạn có thể giải quyết các vấn đề quyết định trong BPP được hỗ trợ với các máy tính lượng tử có độ sâu log hoặc một cái gì đó tương tự.

2) Các lớp hàm Boolean là gì mà lấy mẫu xấp xỉ biến đổi Fourler của chúng là ở P. Điều chúng ta biết là đây là trường hợp khi các hệ số Fourier tập trung vào nhiều hệ số đa thức, nhưng điều này có vẻ rất hạn chế.

3) Có một số độ phức tạp X cao lên trong PH mà máy X có thể lấy mẫu xấp xỉ biến đổi Fourier của mọi chức năng mà máy X có thể tính toán.

4) Tôi đặc biệt quan tâm đến vấn đề lấy mẫu biến đổi Fourier của sự kiện giao thoa cho sự sai lệch trên lưới hình lục giác n bởi n.

— Gil Kalai
nguồn

Gil, trong trường hợp điều này khiến bạn quan tâm: trước khi Alex Arkhipov và tôi bắt đầu làm việc trên BosonSampling, điều "ban đầu" mà tôi muốn chứng minh là vấn đề lấy mẫu Fourier gần đúng - tức là chính xác vấn đề bạn mô tả - không phải là trong BPP trừ khi hệ thống phân cấp đa thức sụp đổ. Thật không may, tôi đã không thể chứng minh điều đó hoặc thậm chí có được bằng chứng tốt cho điều đó, điều này thúc đẩy chúng tôi chuyển sự chú ý sang boson và "vĩnh viễn # P-đầy đủ". Tuy nhiên, bây giờ tôi muốn nhắc lại phỏng đoán của mình rằng lấy mẫu Fourier gần đúng là khó, chỉ giả sử rằng PH là vô hạn. :-)

— Scott Aaronson

Cảm ơn, Scott, điều này rất thú vị. Tôi sẽ đề cập đến phỏng đoán của bạn cùng với một vài người khác trong lần chỉnh sửa tiếp theo của câu hỏi.

— Gil Kalai

Scott, Scott, không phải là đối số thông qua các trường hợp cho thấy BOSONSAMPLING trong BPP ngụ ý sự sụp đổ của PH hoạt động cũng cho lấy mẫu Fourier?

— Gil Kalai

Gil: Vâng, đối với các thuật toán lấy mẫu chính xác , chính xác cùng một đối số đi qua. Nhưng đối với các thuật toán lấy mẫu gần đúng, tôi không chắc chắn: người ta cần tin rằng tính toán gần đúng của các hệ số Fourier nên trung bình # P-hoàn thành, giống như Arkhipov và tôi phỏng đoán rằng xấp xỉ vĩnh viễn của ma trận Gaussian phải là # P-hoàn thành trung bình.

— Scott Aaronson

$\hat{f}(x)$ $O(poly(n))$ $\Omega(1/poly(n))$ $\sf{BPP}$ $\mathbb{Z}_2$

$\Omega(2^{n/2})$

— Martin Schwarz
nguồn

Cảm ơn, Martin! Tôi cho rằng việc lấy mẫu từ biến đổi Fouriet thậm chí là các hàm AC ^ 0 khó đến mức nào, phải không? (Trong trường hợp độ sâu-2, một phỏng đoán của Mansour khẳng định rằng đó là đa thức (với sự ngẫu nhiên).

— Gil Kalai