Vấn đề của Giám khảo (thế hệ thống nhất của các trường hợp / câu trả lời quyết định SAT)

Trợ lý giảng dạy của một khóa học đã quản lý để viết một chương trình (chắc chắn) tạo ra các câu hỏi thi khó. Bây giờ, cô ấy muốn viết một chương trình tạo ra các câu trả lời tương ứng. Các vấn đề của Examiner hỏi liệu điều này luôn luôn là tốt; các Conjecture của Examiner khẳng định rằng, giả sử, $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$ , nó là không : đến với những vấn đề dễ dàng hơn đến với giải pháp của họ.

Chính thức hơn, hãy để $M$ là một máy Turing xác định, ở đầu vào $1^n$ , tạo ra trong thời gian đa thức một công thức Boolean có kích thước $n$ . Tôi muốn biết, đối với tất cả các như vậy $M$, có tồn tại một máy Turing thời gian đa thức xác định $M'$ , trên đầu vào $1^n$ , xuất ra " $1$ " nếu $M(1^n)$ có phép gán thỏa mãn và " $0$ " nếu không .

Giả sử $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$ , có câu hỏi này đã được hỏi hoặc trả lời? Nếu không được trả lời, loại giả định bổ sung nào ( ví dụ: hàm một chiều?) Có thể mang lại kết quả gì? Không có bất kỳ điều nào ở trên, "phỏng đoán" của tôi là TM "trả lời" không phải lúc nào cũng tồn tại, nhưng trực giác của bạn là gì?

Cảm ơn!

Câu hỏi bạn đang hỏi tương đương với NP đơn nguyên = unary P, lần lượt tương đương với NE = E, bằng cách đệm.

Từ tiêu đề, có lẽ bạn muốn hỏi liệu có thể tạo các cặp đầu vào / đầu ra sao cho phân phối trên các đầu vào là "khó". Khả năng thực hiện điều này nằm ở đâu đó giữa P NP và các hàm một chiều tồn tại.$\ne$

Trong các mô hình tính toán hạn chế, người ta biết rằng điều này là có thể. Ví dụ: người ta có thể tạo các cặp đầu vào / đầu ra cho các hàm chẵn lẻ hoặc đa số trong AC 0 trở xuống. Xem Sự phức tạp của phân phối .$^0$

Câu hỏi: Cho tạo công thức. Liệu { M ( 1 n ) | n ∈ N ∧ M ( 1 n ) ∈ S Một T } thuộc về P ?$M\in \mathsf{PF}$$\{ M(1^n) \mid n\in \mathbb{N} \land M(1^n)\in SAT\}$$\mathsf{P}$

$succinctSAT \in \mathsf{E} \implies$ Đúng:

Giả định về việc tạo ra các công thức trong thời gian đa thức từ có nghĩa là công thức có thể được đưa ra ngắn gọn . Bạn muốn quyết định sự thỏa mãn của họ trong thời gian n O ( 1 ) .$1^n$$n^{O(1)}$

$\varphi = M(1^n)$$n$$|\varphi|$$\varphi$$\lg n+O(1)$$M$$n$$succintSAT$$\mathsf{E}$$2^{O(\lg n)} = n^{O(1)}$

Đúng $\implies succinctSAT \in \mathsf{E}$

$M \in \mathsf{PF}$$C$$M$$C$$\bot$

$\{ M(1^n) \mid n\in \mathbb{N} \land M(1^n)\in SAT\}$$\mathsf{P}$$succinctSAT$

$SAT$

Chúng ta phải làm rõ những gì chúng ta muốn nói là trường hợp khó như mọi trường hợp tự nó (về mặt lý thuyết) dễ dàng vì nó có thể được giải quyết bằng thuật toán luôn luôn nói có hoặc thuật toán luôn luôn nói không. Dường như với tôi rằng bạn đã cố gắng khắc phục vấn đề này bằng cách áp đặt tính đồng nhất. Suy nghĩ về thuật ngữ mật mã, không có một số thông tin không được tiết lộ cho đối thủ, không có lý do gì để che giấu phần còn lại của tính toán vì đối thủ có thể mô phỏng giao thức.

$n$$n$

$A$
$k \in \{0,1\}^n$
$\varphi_k$$w_k$
$D$
$A$

Hoặc chính thức hơn,

$A\in \mathsf{PF}$$D \in \mathsf{P/poly}$$SAT(A(k)_1) = A(k)_2$$k$

$$\mathsf{Pr}_{k \in \{0,1\}^n} \{ D(A(k)_1) = SAT(A(K)_1) \} < \frac{1}{poly(n)}$$

$k$$\varphi_k$$A(k)_2$

$f$$f(x)=y$$f$$y$$\varphi_{f,y}(x)$$x$$\varphi_{f,y}(x)$$SAT$$f$$f$

Xem thêm chương 29 và 30 của cuốn sách "Buộc với biến ngẫu nhiên" của Jan Krajicek, 2011 về máy phát điện phức tạp bằng chứng .