Ý nghĩa của việc xác định gần đúng

$n\times n$ $\log^2(n)$ $1$ $\left\|A\right\|\leq 1$ $1/\text{poly}$

Về mặt này, điều gì sẽ là xấp xỉ "chính xác" để yêu cầu - nhân hoặc cộng? (xem một trong những câu trả lời dưới đây).

determinant cc.complexity-theory

— Lior Eldar
nguồn

Đây có phải là trên RAM thực?

$\:$

Tôi không chắc là tôi hiểu đúng câu hỏi, nhưng nếu bạn đề cập đến độ chính xác của số học, thì tôi giả sử rằng mỗi số thực được lưu trữ trong các bit log (n).

— Lior Eldar

Với nguy cơ không hiểu đúng các chi tiết của câu hỏi: Có thể tính gần đúng yếu tố quyết định trong bất kỳ yếu tố nào đòi hỏi phải có khả năng quyết định liệu ma trận vuông có phải là số ít hay không, điều này sẽ có một số hậu quả.

Đối với một điều, nó đưa ra một thử nghiệm ngẫu nhiên về việc liệu một đồ thị chung có khớp hoàn hảo hay không (thông qua ma trận Tutte và Schwarz-Zippel). Tôi không nghĩ rằng cái sau được biết đến trong không gian log ngẫu nhiên (ví dụ, Zooity Zoo liệt kê hai cực hoàn hảo phù hợp với NL).

— Magnus Wahlström
nguồn

Cảm ơn Magnus, mặc dù tôi thực sự đã nghĩ đến một lỗi xấp xỉ phụ gia, trong trường hợp đó bạn sẽ không được yêu cầu phân biệt xem một ma trận có phải là số ít hay không. Xấp xỉ đa biến cũng có thể được quan tâm, vì vậy ngay bây giờ, tôi không chắc định nghĩa tốt nhất là gì.

— Lior Eldar

@LiorEldar, chắc chắn ngay cả với lỗi xấp xỉ phụ gia, nếu các mục trong ma trận là số nguyên và lỗi phụ gia bị ràng buộc nhỏ hơn 0,5 bạn có kiểm tra điểm kỳ dị không?

— Peter Taylor

Xin chào Peter Taylor, tôi nghĩ rằng để nói về độ chính xác 0,5 trước tiên bạn cần bằng cách nào đó để xác định định mức toán tử lớn nhất mà bạn hỗ trợ. Vì vậy, ví dụ nếu đầu vào của bạn có , thì lỗi phụ gia xác định của bạn có thể là . Vì vậy, ngay cả khi đầu vào của bạn được cung cấp cho bạn dưới dạng số nguyên bị cắt, mỗi bit , thì định mức tối đa mà bạn được yêu cầu để tính gần đúng định thức sẽ là về số nguyên, nghĩa là sai số xấp xỉ nhỏ hơn nhiều so với so với.

A

$A$

‖ A ‖ \leq 1

$\left\|A\right\|\leq 1$

1 / p o l y (n)

$1/poly(n)$

l o g (n)

$log(n)$

n^{n}

$n^n$

0.5

$0.5$

1 / p o l y (n)

$1/poly(n)$

‖ A ‖

$\left\|A\right\|$

— Lior Eldar

Tôi nghĩ rằng rắc rối với lỗi phụ gia liên quan đến tiêu chuẩn là nó không thực sự mở rộng quy mô. Giả sử tôi có thuật toán đưa ra lỗi xấp xỉ so với. Bây giờ hãy để là ma trận đường chéo khối được hình thành bằng cách sử dụng bản sao của dưới dạng khối. Sau đó, nhưng , vì vậy a lỗi phụ gia cho thang đo thành phụ gia lỗi cho .

1 / p o l y (n)

$1/poly(n)$

| | A | |

$||A||$

A^{'}

$A'$

n^{3} \times n^{3}

$n^3 \times n^3$

n^{2}

$n^2$

A

$A$

| | A | | = | | A^{'} | |

$||A||=||A'||$

det (A^{'}) = det (A)^{n^{2}}

$\det(A')=\det(A)^{n^2}$

| | A^{'} | | / p o l y (n)

$||A'||/poly(n)$

d e t (A^{'})

$det(A')$

O (1)

$O(1)$

d e t (A)

$det (A)$

— Kevin Costello